Geometria analityczna

[kaja222]

Dane są proste

\(l_1: \begin{cases}x=1+t\\
y=-1+2t \\
z=t \end{cases}\)


\(l_2: \begin{cases} x=2-2t\\
y=-1-4t\\
z=1-2t \end{cases}\)



a)wykaż że są równoległe - wyszło mi że są
b)oblicz odległość między nimi
c) Znaleźć równanie ogólne ich wspólnej płaszczyzny


Proszę o rozwiązanie bo mam z tym problem zwłaszcza z pkt C

[radagast]

a)
\(l_1 \parallel \left[1,2,1 \right]\)
\(l_2 \parallel \left[-2,-4 ,-2\right]\)
\(\left[1,2,1 \right] \parallel \left[-2,-4 ,-2\right] \So l_1 \parallel l_2\)
b)
wystarczy znaleźć odległość punktu \(A=\left(2,-1,1 \right)\) od prostej \(l_1\)
Niech \(P \in l_1\) wtedy \(P= \left( 1+t,-1+2t,t\right)\)
\(\vec{AP}= \left[-1+t,2t,-1+t \right]\)
\(\vec{AP} \perp l_1 \iff \vec{AP} \circ \left[1,2,1 \right]=0 \iff \left[-1+t,2t,-1+t \right]\circ \left[1,2,1 \right]=0 \iff -1+t+4t-1+t=0 \iff\\
t= \frac{1}{3}\)
czyli \(\vec{AP}= \left[- \frac{4}{3} ,\frac{4}{3} ,-\frac{4}{3} \right]\)
\(\begin{vmatrix} \vec{AP}\end{vmatrix}=2\) i to jest odległość prostych
c)
\(\vec{AP} \parallel \left[ -1,1,-1\right]\)
\(\left[ -1,1,-1\right] \times \left[1,2,1 \right]= \left[3,0,-3 \right]\) -wektor prostopadły do szukanej płaszczyzny.
\(3x-3z+D=0\) równanie szukanej płaszczyzny. Trzeba jeszcze znaleźć D:
Płaszczyzna przechodzi przez punkt \(A=\left(2,-1,1 \right)\) zatem
\(3 \cdot 2-3 \cdot 1+D=0\), no to \(D=-3\)
\(3x-3z-3=0\) ale ładniej będzie tak: \(x-z-1=0\)