zadanie optymalizacyjne

[qaz123]

Mając dane punkty A=(2,3) i B=(6,1) znajdź współrzędne punktu C należącego do osi OX i
niewspółliniowego z danymi punktami takiego, że obwód trójkąta ABC jest najmniejszy.
odpowiedź C=(5,0)

[radagast]

Mając dane punkty A=(2,3) i B=(6,1) znajdź współrzędne punktu C należącego do osi OX i
niewspółliniowego z danymi punktami takiego, że obwód trójkąta ABC jest najmniejszy.
odpowiedź C=(5,0)

\(f(x)= \sqrt{(x-2)^2+9}+\sqrt{(x-6)^2+1}\)
No i szukamy minimum tej funkcji

[qaz123]

a odległość AB też dodajemy?
i jaka będzie postać pochodnej z tych pierwiastków?

[qaz123]

Mając dane punkty A=(2,3) i B=(6,1) znajdź współrzędne punktu C należącego do osi OX i
niewspółliniowego z danymi punktami takiego, że obwód trójkąta ABC jest najmniejszy.
odpowiedź C=(5,0)

\(f(x)= \sqrt{(x-2)^2+9}+\sqrt{(x-6)^2+1}\)
No i szukamy minimum tej funkcji

odległość AB też dodajemy? a jaka będzie postać pochodnej z tych pierwiastków?

[radagast]

AB możesz pominąć- nie ma wpływu na wynik.
\(f(x)= \sqrt{(x-2)^2+9}+\sqrt{(x-6)^2+1}\)
\(f'(x)= \frac{2(x-2)}{2 \sqrt{(x-2)^2+9}}+ \frac{2(x-6)}{2 \sqrt{(x-6)^2+1}}= \frac{x-2}{ \sqrt{x^2-4x+13}}+ \frac{x-6}{ \sqrt{x^2-12x+37} }\)

[radagast]

\(f'(x)= \frac{x-2}{ \sqrt{x^2-4x+13}}+ \frac{x-6}{ \sqrt{x^2-12x+37}}=0 \iff \\
\frac{x-2}{ \sqrt{x^2-4x+13}}= \frac{6-x}{ \sqrt{x^2-12x+37}} \So \\
x \iff \left( 2,6\right)\ \ \wedge \ \ \frac{(x-2)^2}{ x^2-4x+13}= \frac{(6-x)^2}{ x^2-12x+37} \So\\
x \iff \left( 2,6\right)\ \ \wedge \ \ \frac{x^2-4x+4}{ x^2-4x+13}= \frac{x^2-12x+36}{ x^2-12x+37} \So\\
x \iff \left( 2,6\right)\ \ \wedge \ \ (x^2-4x+4)( x^2-12x+37) =(x^2-12x+36)(x^2-4x+13)\So\\
x \iff \left( 2,6\right)\ \ \wedge \ \ \So....\)
Ja z rachunków jestem cienka więc nawet nie próbuję dalej ale rzeczywiście 5 jest pierwiastkiem pochodnej. Potem trzeba jeszcze zbadać znak pochodnej. Jak przebrniesz już przez rachunki, na których ja utknęłam to będzie łatwo (tam się po redukuje to, co niewygodne ).
Zadanie robione trochę bez pomysłu ale nic mądrzejszego nie udało mi się wymyślić.