Dwa zadania geometria analityczna

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
maturka2018
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 25 lut 2018, 17:24
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Dwa zadania geometria analityczna

Post autor: maturka2018 »

Witam, prosiłbym o w miarę klarowne wytłumaczenia poniższych zadań:

1. Wyznacz równanie prostej, do której należy punkt P (-6,15) i takiej, że odległość punktu Q(4,-5) od tej prostej wynosi 10.
W tym zadaniu poszedłem drogą, która doprowadziła mnie niestety tylko do jednego wyniku : 4y+3x-42=0
Natomiast nie wiem dlaczego mój sposób "nie wykrywa" drugiego rozwiązania, a mianowicie x+6=0


2. W trójkącie prostokątnym ABC(|<ABC|=90st) dwa wierzchołki mają współrzędne A(4,-5 i C(-8,5). Wyznacz współrzędne wierzchołka B, wiedząc, że pole trójkąta ABC jest równe 61.
Tutaj obliczyłem długosc |AC|= 2√61 i stanąłem w miejscu.
( Wynik to B1(3,6) lub B2 (-7,-6))
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Ad 1. Może zapomniałeś, że tam była wartość bezwzględna we wzorze na odległość punktu od prostej.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1302 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

2)
Zadanie można zrobić na wiele sposobów.
a) Choćby wykorzystując iloczyn skalarny i wektorowy.
Niech \(B=(x,y)\). Wtedy:
\(\vec{BA}= \left[ 4-x,-5-y\right] \wedge \vec{BC}= \left[ -8-x,5-y\right]\)
Szukane współrzędne rozwiązuje układ równań:
\(\begin{cases} \vec{BA} \circ \vec{CA}=0 \\ | \frac{1}{2} \vec{BA} \times \vec{CA} |=61\end{cases}\)
\(\begin{cases} (4-x)(-8-x)+(-5-y)(5-y)=0 \\ |(4-x)(5-y)-(-5-y)(-8-x)|=122 \end{cases}\)
....

b) lub bawiąc się okręgami oraz prostopadłością i równoległością prostych.
maturka2018
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 25 lut 2018, 17:24
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re:

Post autor: maturka2018 »

kerajs pisze:2)
Zadanie można zrobić na wiele sposobów.
a) Choćby wykorzystując iloczyn skalarny i wektorowy.
Niech \(B=(x,y)\). Wtedy:
\(\vec{BA}= \left[ 4-x,-5-y\right] \wedge \vec{BC}= \left[ -8-x,5-y\right]\)
Szukane współrzędne rozwiązuje układ równań:
\(\begin{cases} \vec{BA} \circ \vec{CA}=0 \\ | \frac{1}{2} \vec{BA} \times \vec{CA} |=61\end{cases}\)
\(\begin{cases} (4-x)(-8-x)+(-5-y)(5-y)=0 \\ |(4-x)(5-y)-(-5-y)(-8-x)|=122 \end{cases}\)
....

b) lub bawiąc się okręgami oraz prostopadłością i równoległością prostych.

jestem w klasie maturalnej i niestety nie miałem jeszcze iloczynu skalarnego :/

Panb - pozbyłem się wartości bezwględnej podnosząc obie strony do kwadratu
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1302 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

Na pewno miałeś.

Z pola wyliczam wysokość: \(h= \frac{ \sqrt{61} }{4}\)
Wylicz (w dowolny sposób) równania prostych równoległych do prostej przechodzącej przez punkty A,C oraz odległej od niej o wartość h. Ich przecięcie z okręgiem, którego odcinek AC jest średnicą, da szukane punkty B.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

ad1: może wyszedłeś od równania prostej y=ax+b? Wtedy tego drugiego rozwiązania się nie dostanie.
Ja wyszedłem od \(Ax+By+C=0\)
  1. \(C \neq 0\\ \frac{A}{C}x+\frac{B}{C}y+1=0,\quad a=\frac{A}{C},\,\,\, b=\frac{B}{C}\\
    ax+by+1=0\\
    \begin{cases}-6a+5b+1=0\\\frac{|4a-5b+1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=10 \end{cases}\\
    \begin{cases}b=\frac{2}{5}a-\frac{1}{15}\\ |2a+\frac{4}{3}|=\frac{2}{3}\sqrt{225a^2+(6a-1)^2} \end{cases}\\
    \begin{cases}a=-\frac{1}{14}\\b=-\frac{2}{21} \end{cases} \vee \begin{cases}a=\frac{1}{6}\\b=0 \end{cases}\)
  2. \(C=0\\
    Ax+By=0\\
    \begin{cases}-6a+15b=0\\\frac{|4A-5B|}{\sqrt{A^2+B^2}}=10 \end{cases}\)

    Ten układ jest sprzeczny, o czym łatwo i szybko można się przekonać.
Stąd dostajesz obie proste.
maturka2018
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 25 lut 2018, 17:24
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re:

Post autor: maturka2018 »

panb pisze:ad1: może wyszedłeś od równania prostej y=ax+b? Wtedy tego drugiego rozwiązania się nie dostanie.
Ja wyszedłem od \(Ax+By+C=0\)
  1. \(C \neq 0\\ \frac{A}{C}x+\frac{B}{C}y+1=0,\quad a=\frac{A}{C},\,\,\, b=\frac{B}{C}\\
    ax+by+1=0\\
    \begin{cases}-6a+5b+1=0\\\frac{|4a-5b+1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=10 \end{cases}\\
    \begin{cases}b=\frac{2}{5}a-\frac{1}{15}\\ |2a+\frac{4}{3}|=\frac{2}{3}\sqrt{225a^2+(6a-1)^2} \end{cases}\\
    \begin{cases}a=-\frac{1}{14}\\b=-\frac{2}{21} \end{cases} \vee \begin{cases}a=\frac{1}{6}\\b=0 \end{cases}\)
  2. \(C=0\\
    Ax+By=0\\
    \begin{cases}-6a+15b=0\\\frac{|4A-5B|}{\sqrt{A^2+B^2}}=10 \end{cases}\)

    Ten układ jest sprzeczny, o czym łatwo i szybko można się przekonać.
Stąd dostajesz obie proste.
tak, wychodziłem od prostej y=ax+b. Dzięki!
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Ad 2
Rzeczywiście \(|AC|=2\sqrt{61}\). Ponadto prosta AC ma równanie \(5x+6y+10=0\)
Niech \(B=(b_x,b_y)\) będzie szukanym punktem.
Wtedy współczynniki kierunkowe prostych AB i AC są odpowiednio równe
\(a_{AB}=\frac{b_y-5}{b_x-4},\,\,\,a_{BC}=\frac{b_y-5}{b_x+8}\) i warunek prostopadłości ma postać
\(\frac{b_y^2-25}{(b_x-4)(b_x+8)}=-1 \iff b_y^2-25=(4-b_x)(b_x+8) \wedge b_x \neq 4 \wedge b_x \neq -8\)
  • Po przekształceniu daje to ładne równanko: \((b_x+2)^2+b_y^2=61\)
Ta część dotycząca pola trójkąta, daje drugie równanie: \(|5b_x+6b_y+10|=61\)

Rozwiązaniami tego układu równań są punkty (-7,-6) oraz (3,6).
maturka2018
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 25 lut 2018, 17:24
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re:

Post autor: maturka2018 »

panb pisze:Ad 2
Rzeczywiście \(|AC|=2\sqrt{61}\). Ponadto prosta AC ma równanie \(5x+6y+10=0\)
Niech \(B=(b_x,b_y)\) będzie szukanym punktem.
Wtedy współczynniki kierunkowe prostych AB i AC są odpowiednio równe
\(a_{AB}=\frac{b_y-5}{b_x-4},\,\,\,a_{BC}=\frac{b_y-5}{b_x+8}\) i warunek prostopadłości ma postać
\(\frac{b_y^2-25}{(b_x-4)(b_x+8)}=-1 \iff b_y^2-25=(4-b_x)(b_x+8) \wedge b_x \neq 4 \wedge b_x \neq -8\)
  • Po przekształceniu daje to ładne równanko: \((b_x+2)^2+b_y^2=61\)
Ta część dotycząca pola trójkąta, daje drugie równanie: \(|5b_x+6b_y+10|=61\)

Rozwiązaniami tego układu równań są punkty (-7,-6) oraz (3,6).
Dzięki Królu Złoty :D, doszedłem do przekształconego rownania, natomiast nie do końca rozumiem tego drugiego... z ktorego wyglada na to, ze wzor na prostą da nam pole
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Wysokość tego trójkąta, to odległość punktu B od prostej AC.
No i potem wzór na pole trójkąta itd.
ODPOWIEDZ