5 Zadań z geometrii

[Pasus]

1 Znajdź rzut punktu P(7,-5, 11) na płaszczyznę π : x-y+2z-4=0 .
2 Znajdź rzut punktu P(1,0,2) na prostą l : { x=t , y=t+1 , z=2t-1}.
3 Niech dane będą trzy punkty A(1,2,3), B(0,1,1) oraz C(1,1,0).
Znajdź równanie płaszczyzny zawierającej punkty A,B,C.
4 Znajdź równanie płaszczyzny zawierającą punkt P(1,0,2) oraz prostą
{ x=t , y=t+1 , z=t+2 } .
5 Niech dane będą trzy punkty A(2,-1,2), B(1,2,-1) oraz C(3,2,1).
Oblicz pole trójkąta ABC.

[radagast]

1 Znajdź rzut punktu P(7,-5, 11) na płaszczyznę π : x-y+2z-4=0 .

analogicznie jak tu viewtopic.php?f=29&t=84633 (zadanie3)

[radagast]

2 Znajdź rzut punktu P(1,0,2) na prostą l : { x=t , y=t+1 , z=2t-1}.

\(l \parallel \left[1,1,2 \right]\)
\(Q= \left( t , t+1 , 2t-1\right) \in l\)
\(\vec{PQ} = \left[ t-1,t+1,2t-3\right]\)
\(\vec{PQ} \perp l \iff \left[ t-1,t+1,2t-3\right] \circ \left[1,1,2 \right]=0 \iff t-1+t+1+4t-6=0 \iff t=1\)
No to szukanym rzutem jest punkt \(\left( 1,2,1\right)\)

[radagast]

3 Niech dane będą trzy punkty A(1,2,3), B(0,1,1) oraz C(1,1,0).
Znajdź równanie płaszczyzny zawierającej punkty A,B,C.

\(\vec{AB}= \left[-1,-1-2 \right]\)
\(\vec{AC}= \left[0,-1,-3 \right]\)
\(\vec{AB} \times \vec{AC}= \left[1,-3,1 \right]\)
no to równanie szukanej płaszczyzny ma postać \(x-3y+z+D=0\), a skoro przechodzi przez punkt \(B\), to \(D=2\)
odp: szukane równanie to \(x-3y+z+2=0\) ( o ile nie pomyliłam się w rachunkach, co jest mało prawdopodobne, bo zwykle się mylę ).

[radagast]

4 Znajdź równanie płaszczyzny zawierającą punkt P(1,0,2) oraz prostą
{ x=t , y=t+1 , z=t+2 } .

analogicznie jak tu viewtopic.php?f=29&t=84633 zadanie 2

[radagast]

5 Niech dane będą trzy punkty A(2,-1,2), B(1,2,-1) oraz C(3,2,1).
Oblicz pole trójkąta ABC.

\(\vec{AB}= \left[-1,3,-3 \right]\)
\(\vec{AC}= \left[1,3,-1 \right]\)
\(P= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|= \frac{1}{2} |\left[6,-4,-6 \right]|= \frac{1}{2} \sqrt{36+16+36}= \frac{1}{2} \sqrt{88}= \sqrt{22}\)
O ile nie pomyliłam się w rachunkach.