Wektory zadania

[Pasus]

Witam, mam problem jak rozwiązać analitycznie te zadania:
1)Niech (a ) ⃗=2(p ) ⃗-3(q ) ⃗,gdzie |p ⃗ |=4 ,|q ⃗ |=2 ,(p ) ⃗⊥ (q ) ⃗ .Oblicz |a ⃗ | oraz a ⃗ ∙ p ⃗.
2) Niech (a ) ⃗=(p ) ⃗+(q ) ⃗ oraz (b ) ⃗=(p ) ⃗+2(q ) ⃗ ,gdzie |p ⃗ |=1 ,|q ⃗ |=2 ,∢( (p ) ⃗,(q ) ⃗ )= 60° .Oblicz |a ⃗ | ,|b ⃗ | oraz a ⃗ ∙ b ⃗.
Z góry dziękuję za pomoc.

[Arni123]

1)Niech (a ) ⃗=2(p ) ⃗-3(q ) ⃗,gdzie |p ⃗ |=4 ,|q ⃗ |=2 ,(p ) ⃗⊥ (q ) ⃗ .Oblicz |a ⃗ | oraz a ⃗ ∙ p ⃗.

Wiemy, że \(| \vec{a} |^2=\vec{a} \circ \vec{a}\). Skoro \(\vec{p} \perp \vec{q}\) to \(\vec{p}\circ\vec{q}=0\). Mamy zatem:
\(|\vec{a}|^2=\vec{a}\circ\vec{a}=(2\vec{p}-3\vec{q})\circ(2\vec{p}-3\vec{q})=4\vec{p}\circ\vec{p}-6\vec{p}\circ\vec{q}-6\vec{q}\circ\vec{p}+9\vec{q}\circ\vec{q}=4|\vec{p}|^2-6\cdot 0-6\cdot 0+9|\vec{q}|^2=\)
\(=4\cdot 4^2+9\cdot 2^2=100\), czyli \(|\vec{a}|=\sqrt{100}=10.\)

\(\vec{a}\circ\vec{p}=(2\vec{p}-3\vec{q})\circ\vec{p}=2\vec{p}\circ\vec{p}-3\vec{q}\circ\vec{p}=2|\vec{p}|^2-3\cdot 0=2\cdot 4^2=32\)

2) Niech (a ) ⃗=(p ) ⃗+(q ) ⃗ oraz (b ) ⃗=(p ) ⃗+2(q ) ⃗ ,gdzie |p ⃗ |=1 ,|q ⃗ |=2 ,∢( (p ) ⃗,(q ) ⃗ )= 60° .Oblicz |a ⃗ | ,|b ⃗ | oraz a ⃗ ∙ b ⃗.

Podobnie tylko z tego, że \(\angle (\vec{p},\vec{q})=60^{\circ}\) mamy \(\vec{p}\circ\vec{q}=|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|\cdot \cos{60^{\circ}}=2\cdot1\cdot \frac{1}{2}=1.\) Stąd
\(|\vec{a}|^2=\vec{a} \circ \vec{a}=(\vec{p}+\vec{q})\circ(\vec{p}+\vec{q})=\vec{p}\circ\vec{p}+2\vec{p}\circ\vec{q}+\vec{q}\circ\vec{q}=|\vec{p}|^2+2\vec{p}\circ\vec{q}+|\vec{q}|^2=1^2+2\cdot 1+2^2=7\)
Zatem \(|\vec{a}|=\sqrt{7}.\)

\(\vec{a}\circ\vec{b}=(\vec{p}+\vec{q})\circ (\vec{p}+2\vec{q})=\vec{p}\circ\vec{p}+2\vec{p}\circ\vec{q}+\vec{q}\circ\vec{p}+2\vec{q}\circ\vec{q}=|\vec{p}|^2+3\vec{p}\circ\vec{q}+2|\vec{q}|^2=1+3+8=12\)

Spróbuj policzyć \(|\vec{b}|.\)

[Pasus]

Pięknie dziękuję. Wynik to|b ⃗ |= \sqrt{17} , jeśli się nie pomyliłem.