Wyznaczanie punktu C, by pole trójkąta ABC było najmniejsze

[Pilecki]

Witam, proszę o pomoc w zadaniu z geometrii analitycznej.

Na hiperboli o równaniu y=-3/X , x<0 wyznacz współrzędne takiego punktu C, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze, gdzie A(1,-4); B(5,-2).

Pozdrawiam.

[eresh]

Witam, proszę o pomoc w zadaniu z geometrii analitycznej.

Na hiperboli o równaniu y=-3/X , x<0 wyznacz współrzędne takiego punktu C, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze, gdzie A(1,-4); B(5,-2).

Pozdrawiam.

Pole będzie najmniejsze, gdy wysokość opuszczona na bok AB (odległość punktu C od prostej AB) będzie najkrótsza

prosta AB:
\(x-2y-9=0\)
\(C(c,\frac{-3}{c})\\
h=\frac{|c+\frac{6}{c}-9}|{\sqrt{1+4}}\\
c<0\\
h(c)=\frac{9-c-\frac{6}{c}}{\sqrt{5}}\\
h'(c)=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1+\frac{6}{c^2})\\
h'(c)=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{-c^2+6}{c^2}\\
h_{min}=h(\sqrt{6})\\
C(\sqrt{6},-\frac{3}{\sqrt{6}})\)

[Galen]

Możesz policzyć pole trójkąta jako połowa wyznacznika wektorów AB i AC
\(A=(1;-4)\\B=(5;-2)\\C=(x; \frac{-3}{x})\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x<0\\ \vec{AB}=[4;2]\\ \vec{AC}=[x-1;-\frac{3}{x}+4]\\P_{ABC}= \frac{1}{2} \begin{vmatrix}x-1\;\;\;\;4- \frac{3}{x}\\4\;\;\;\;\;\;\;\;\;2 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}(2x-2-16+ \frac{12}{x})=|x+ \frac{6}{x}-9|=P(x)\)
\(P'(x)=1- \frac{6}{x^2}= \frac{x^2-6}{x^2}\)
\(P'(x)=0\;\;\;\;\;gdy\;\;\;\;\;x^2-6=0\;\;\;\;gdy\;\;\;\;x=- \sqrt{6}\;\; lub\;\;\;x= \sqrt{6}\)
W zadaniu ma być x<0,więc mamy \(C=(- \sqrt{6}; \frac{-3}{- \sqrt{6} })=(- \sqrt{6}; \frac{ \sqrt{6} }{2})\)
Tylko w punkcie \(x=- \sqrt{6}\) pochodna zmienia znak z + na -,a to oznacza że funkcja osiąga maksimum...

[Tulio]

@Galen Bo opuściłeś wartość bezwzględną we wzorze na pole trójkąta.