okręgi i styczne

[Karp_1_]

zad.1. Do okręgu o równaniu x2+y2-4x+4y-2=0 poprowadzono w punkcie A(3,1) styczną. Wyznacz pole trójkąta utworzonego przez styczną i osie układu współrzędnych orz oblicz odległość tej stycznej od początku układu.
zad.2. Dane są trzy kolejne wierzchołki prostokąta ABCD A(-5,-3) B(-2,0) C(-7,5)
a)napisz równanie okręgu opisanego na tym prostokącie
b)napisz równanie prostej stycznej do tego okręgu w punkcie D
zad.3. w okrąg o równaniu x2+y2=25 wpisano prostokąt w ten sposób,że dwa jego wierzchołki należą do prostej o równaniu 2x-y-5=0. Oblicz pole tego prostokąta.

[eresh]

zad.1. Do okręgu o równaniu \(x^2+y^2-4x+4y-2=0\) poprowadzono w punkcie A(3,1) styczną. Wyznacz pole trójkąta utworzonego przez styczną i osie układu współrzędnych orz oblicz odległość tej stycznej od początku układu.

\(y=ax+b\\
1=3a+b\\
b=1-3a\\
y=ax+1-3a\\
ax-y+1-3a=0\)

\(x^2+y^2-4x+4y-2=0\\
(x-2)^2+(y+2)^2=10\)

odległość stycznej od środka okręgu wynosi \(r=\sqrt{10}\)
\(\frac{|2a+2+1-3a|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}\\
|3-a|=\sqrt{10a^2+10}\\
9-6a+a^2=10a^2+10\\
9a^2+6a+1=0\\
a=-\frac{1}{3}\\\)

styczna ma równanie \(y=-\frac{1}{3}x+2\)

\(A(0,2)\\
B(6,0)\\
C(0,0)\\
P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 6=6\)

odległość stycznej od (0,0)
\(y=-\frac{1}{3}x+2\\
3y=-x+6\\
x+3y-6=0\\
d=\frac{|-6|}{\sqrt{1+9}}=\frac{6}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}\)

[eresh]

zad.2. Dane są trzy kolejne wierzchołki prostokąta ABCD A(-5,-3) B(-2,0) C(-7,5)
a)napisz równanie okręgu opisanego na tym prostokącie
b)napisz równanie prostej stycznej do tego okręgu w punkcie D

środek okręgu to środek odcinka AC
\(S(\frac{-5-7}{2},\frac{-3+5}{2})\\
S(-6,1)\)
promień to połowa długości przekątnej
\(r=0,5\sqrt{(-7+5)^2+(5+3)^2}=\sqrt{17}\)
równanie okręgu: \((x+6)^2+(y-1)^2=17\)

\((-6,1)=(\frac{-2+x_d}{2},\frac{0+y_d}{2})\\
-2+x_d=-12\So x_d=-10\\
y_d=2\\
D(-10,2)\)
styczna:
\(y=ax+b\\
2=-10a+b\\
b=10a+2\\
y=ax+10a+2\\
ax-y+10a+2=0\\
\frac{-6a-1+10a+2}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{17}\\
|4a+1|=\sqrt{17a^2+17}\\
16a^2+8a+1=17a^2+17\\
a^2-8a+16=0\\
a=4\\
y=4x+42\)

[eresh]

zad.3. w okrąg o równaniu \(x^2+y^2=25\) wpisano prostokąt w ten sposób,że dwa jego wierzchołki należą do prostej o równaniu \(2x-y-5=0\). Oblicz pole tego prostokąta.

\(\begin{cases}x^2+y^2=25\\2x-y-5=0\end{cases}\\
\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}\;\; \vee \;\;\begin{cases}x=0\\y=-5\end{cases}\\
A(4,3)\\
B(0,-5)\)
przekątna prostokątna = d
\(d=2r\\
d=2\cdot 5=10\\
a=|AB|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\
a^2+b^2=d^2\\
20+b^2=100\\
b^2=80\\
b=4\sqrt{5}\\
P=ab\\
P=2\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{5}=40\)

[Karp_1_]

A w pierwszym skąd te 2a+2+1-3a /.... Wiem że to z wzoru AC+BY+C/ \sqrt{} A2+B2 ale nie wiem skąd te liczby

[Galen]

A w pierwszym skąd te 2a+2+1-3a /.... Wiem że to z wzoru AC+BY+C/ \sqrt{} A2+B2 ale nie wiem skąd te liczby

Okrąg ma środek \(S=(2;-2)\) i promień \(r=\sqrt{10}\) . Styczna przechodząca przez A=(3;1)
ma równanie:
\(ax-y-3a+1=0\)
Odległość środka od tej stycznej jest równa długości promienia okręgu.
\(\frac{|a \cdot 2-(-2)-3a+1|}{ \sqrt{a^2+(-1)^2} }= \sqrt{10}\)
Z wzoru na odległość punktu od prostej.

[Karp_1_]

dziękuję za pomoc !