Równaniem liniowym jest równanie

[Jarxinho]

Równaniem liniowym jest równanie
Proszę o pomoc wraz z wyjaśnieniem.
A. y'+2xy=y
B.y'− x sin y = y
C. y' + xy − sin x = 0
D. y' = \(\frac{y}{x}\)

Pochodna kierunkowa funkcji f(x,y)= x+y w punkcie (1,0) może być w pewnym kierunku równa:
A.1
B. − √5
C.0
D. −√2
E. 2

Wyrażenie e^(2x) y dx + e (^2x) y(^2) dy
a) jest różniczką zupełna
b)nie jest
c)jest pochodna mieszana

[kerajs]

Równanie liniowe ma postać:
\(y'+f(x)y=g(x)\)
C
Na upartego i D.

Pochodna kierunkowa:
\(grad(F) \circ \vec{u_n}= \left[ 1,1\right] \circ \left[\cos \alpha ,\cos (90^{\circ}- \alpha \right] =
\sin \alpha +\cos \alpha\)
A,C,D

Różniczka zupełna: \(Pdx+Qdy \So P'_y=Q'_x\)
B

[Jarxinho]

ale punkt jest (1,0) a nie (1,1)

[Jarxinho]

mam rozumieć ze wyrażenie w 3 zadaniu ma mieć przy dx same zmienne x a przy dy same zmienne y ?

[kerajs]

2)
\(f'_{ \vec{k} }=f'_x \cdot \cos \alpha +f'_y \cdot \cos \beta =grad(f) \cdot \frac{ \vec{k} }{| \vec{k} |}\)
\(f=x+y\\
f'_x=1\\
f'_y=1\)
Jak widać tutaj wartość pochodnych po obu zmiennych jest stała i nie zależy od współrzędnych punktu w którym są liczone,
\(f'_{ \vec{k} }=f'_x \cdot \cos \alpha +f'_y \cdot \cos \beta =1 \cdot \cos \alpha +1 \cdot \cos ( \frac{ \pi }{2}- \alpha)= \cos \alpha + \sin \alpha= \sqrt{2}\sin ( \alpha + \frac{ \pi }{4})\)
a pochodna kierunkowa zależy od kata nachylenia wektora kierunku.
Jakie wartości może przyjąć wyrażenie \(\sqrt{2}\sin ( \alpha + \frac{ \pi }{4})\)?

3)
Wyrażenie będzie różniczką zupełną gdy zróżniczkujesz po y-greku to co stoi przy dx, oraz zróżniczkujesz po x-ksie to co stoi przy dy i dostaniesz identyczne wyrażenia. Innymi słowy drugie pochodne mieszane będą równe.
\((e^{2x}y)'_y=e^{2x}\\
(e^{2x}y^2)'_x=2e^{2x}y^2\)
Tu nie są równe, to nie jest różniczka zupełna.