Okrąg w układzie współrzędnych i katy

[alfred nowak]

Przez punkty A )0,0) i B (3,8) , poprowadzono okrag , którego środek należy do odcinka AB , a okrąg przecina oś odciętych w punkcie P. Oblicz miary kąta BAP i BSP. Jakieś wskazówki?

[Galen]

Narysuj układ współrzędny i zaznacz punkty A=(0;0) i B=(3;8).
Środek okręgu S jest środkiem odcinka AB.
\(S=( \frac{0+3}{2}; \frac{0+8}{2} )=( \frac{3}{2};4)\)
\(r=|AS|= \sqrt{ \frac{9}{4}+16 }= \frac{73}{4}\)
Równanie okręgu:
\((x- \frac{3}{2})^2+(y-4)^2= \frac{73}{4}\)
Podstaw za y liczbę 0 i oblicz x.Otrzymasz współrzędne punktu P.
\((x- \frac{3}{2})^2+16= \frac{73}{4}\\(x- \frac{3}{2})^2= \frac{9}{4}\\x- \frac{3}{2}= \frac{3}{2}\\x=3\\P=(3;0)\)
\(tg \angle PAB= \frac{8}{3} \approx 2,6667\;\;\; \So \;\;\;\; \angle PAB \approx 69^o\)
Kąt PSB możesz policzyć z tw.cosinusów w trójkącieBPS,
ale możesz też policzyć kąt ASP i odjąć otrzymaną wartość od 180 stopni.
\(\angle ASP=180^o-2 \cdot 69^o=42^o\)
\(\angle PSB=180^o-42^o=138^o\)

Jeśli jednak zauważysz,że kąt wpisany PAB jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy PSB,
to od razu masz \(\angle PSB=2 \cdot \angle PAB=2\cdot 69^o=138^o\)