Zadania- proste i punkt

[potrzask]

1)Obliczyć kąt między prostymi

l:\(\begin{cases}x-6y-6z+2=0 \qquad

2x+2y+9z-1=0 \end{cases}\)
p: \(\begin{cases}x=2t \qquad

y=1-t \qquad

z=t \end{cases}\)
\(t \in \rr\)

2)Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt \(M \left(2,0,1 \right)\) i równoległej do prostej l:\(\begin{cases}2x-3y-3 \qquad z=0 \qquad x-6y-6z+9=0 \end{cases}\)

3)Znaleźć równanie prostej l przechodzącej przez punkt \(P \left(3,2,-1 \right)\) i prostopadłej do prostych

l:\(\begin{cases}x=t \qquad y=4 \qquad z=1+6t \end{cases}\)
t\(\in \rr\)

p:\(2x=y= \frac{z-6}{3}\)

[radagast]

1)Obliczyć kąt między prostymi

l:\(\begin{cases}x-6y-6z+2=0 \qquad

2x+2y+9z-1=0 \end{cases}\)
p: \(\begin{cases}x=2t \qquad

y=1-t \qquad

z=t \end{cases}\)
\(t \in \rr\)

\(l \parallel \left[ 1,-6,-6\right] \times \left[ 2,2,9\right]= \left[ 42,-21,14\right] \parallel \left[6,-3,2 \right]\)
\(p \parallel \left[2,-1,-1 \right]\)
kąt między prostymi \(p\) i \(l\) jest taki jak między wektorami \(\left[6,-3,2 \right]\) i \(\left[2,-1,-1 \right]\)
czyli \(\cos \alpha = \frac{ \left[6,-3,2 \right] \circ \left[2,-1,-1 \right]}{|\left[6,-3,2 \right]| \cdot |\left[2,-1,-1 \right]|}\) (policz sobie )

[radagast]

2)Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt \(M \left(2,0,1 \right)\) i równoległej do prostej l:\(\begin{cases}2x-3y-3 z=0 \\ x-6y-6z+9=0 \end{cases}\)

\(\left[2,-3,-3 \right] \times \left[1,-6,-6 \right] = \left[ 0,9,9\right]\)- wektor równoległy do szukanej prostej.
\(\begin{cases} x=2\\y=9t\\z=9t+1\end{cases}\) przedstawienie parametryczne szukanej prostej.

[radagast]

3)Znaleźć równanie prostej l przechodzącej przez punkt \(P \left(3,2,-1 \right)\) i prostopadłej do prostych

l:\(\begin{cases}x=t \qquad y=4 \qquad z=1+6t \end{cases}\)
t\(\in \rr\)

p:\(2x=y= \frac{z-6}{3}\)

\(l \parallel \left[ 1,0,6\right]\)
\(p \parallel \left[ \frac{1}{2},1,3 \right] \parallel \left[1,2,6 \right]\)
\(\left[ 1,0,6\right] \times \left[1,2,6 \right]= \left[-12,0,2 \right] \parallel \left[-6,0,1 \right]\)
\(\begin{cases} x=-6t+3\\y=2\\z=t-1\end{cases}\) przedstawienie parametryczne szukanej prostej.