Trzy zadania - płaszczyzna zawierająca proste/punkt

[potrzask]

1)Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej proste:

l: x=y=z

p: \(\frac{x}{2}\)= \(\frac{y}{1}\) =\(\frac{z}{-1}\)

2)Znaleźć punkt A, który jest rzutem prostokątnym punktu B(-3,1,-2) na płaszczyznę \(\pi\): 2x-y+3z-1=0

3)Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej proste:

l:
\(\begin{cases}x=1+t
y=2+t
z=-1-t \end{cases}\)

\(t \in \rr\)

p: \(\frac{x-1}{3} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{2}\)

Z góry dziękuję za odpowiedź.

[radagast]

1)Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej proste:

l: x=y=z

p: \(\frac{x}{2}\)= \(\frac{y}{1}\) =\(\frac{z}{-1}\)

\(p \parallel \left[ 1,1,1\right]\)
\(q \parallel \left[ 2,1,-1\right]\)
\(\left[2,1,-1 \right] \times \left[1,1,1 \right]= \left[ 2,-3,1\right]\)- wektor prostopadły do szukanej płaszczyzny.
\(\left(0,0,0 \right)\)- punkt należący do szukanej płaszczyzny.

\(2x-3y+z=0\)- równanie do szukanej płaszczyzny.

[radagast]

2)Znaleźć punkt A, który jest rzutem prostokątnym punktu B(-3,1,-2) na płaszczyznę \(\pi\): 2x-y+3z-1=0

Poprowadźmy prostą \(l\) prostopadłą do \(\pi\), przechodzącą przez B:
\(\pi \perp \left[ 2,-1,3\right]\) zatem \(l \parallel \left[ 2,-1,3\right]\).
no to ma przedstawienie parametryczne \(l(t)= \left(2t-3,-t+1,3t-2 \right)\)
przetnijmy teraz \(l\) z \(\pi\):
\(2 \left( 2t-3\right) - \left( -t+1\right) +3 \left( 3t-2\right) -1=0\)
\(4t-6+t-1+9t-6-1=0\)
\(14t=14\)
\(t=1\)
szukany punkt to \(l(1)= \left(2 \cdot 1-3,-1+1,3 \cdot 1-2 \right)= \left( -1,0,1\right)\)

[radagast]

3)Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej proste:

l:
\(\begin{cases}x=1+t
y=2+t
z=-1-t \end{cases}\)

\(t \in \rr\)

p: \(\frac{x-1}{3} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{2}\)

\(l(t)= \left( 1+t,2+t,-1-t\right)\)
zatem \(l \parallel \left[ 1,1,-1\right]\)
z kolei \(p \parallel \left[ 3,-1,2\right]\)
\(\left[ 1,1,-1\right] \times \left[ 3,-1,2\right]= \left[ 3,-4,-4\right]\) - wektor prostopadły do szukanej płaszczyzny.
\(\left(1,0,-1 \right)\) punkt należący do szukanej płaszczyzny.
\(3x-4y-4z+D=0\) przy czym
\(3 \cdot 1-4 \cdot 0-4 \cdot \left( -1\right) +D=0\)
\(3x-4y-4z-7=0\) równanie szukanej płaszczyzny.

[potrzask]

1)Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej proste:

l: x=y=z

p: \(\frac{x}{2}\)= \(\frac{y}{1}\) =\(\frac{z}{-1}\)

\(p \parallel \left[ 1,1,1\right]\)
\(q \parallel \left[ 2,1,-1\right]\)
\(\left[1,1,1 \right] \times \left[2,1,-1 \right] = \left[ 2,-3,1\right]\)- wektor prostopadły do szukanej płaszczyzny.
\(\left(0,0,0 \right)\)- punkt należący do szukanej płaszczyzny.

\(2x-3y+z=0\)- równanie do szukanej płaszczyzny.

Czy wektor nie powinien być [-2,3,-1]?

[radagast]

Czy wektor nie powinien być [-2,3,-1]?

Tak , masz rację. Poprawiłam i teraz jest już ok , mimo, że wektor pozostał ten sam. Wiesz dlaczego ?