Trzeci wierzchołek trójkąta

[NieRozumiem85]

Pole trójkąta ABC jet równe 10. Dane są dwa jego wierzchołki A=(1, -2) i B=(2,3). Znaleźć trzeci wierzchołek, który leży na prostej 2x-y+2=0

[radagast]

To pewnie można jakoś prościej ale ja umiem tak:
\(\vec{AB} = \left[1,5 \right]\)
\(\left|AB\right|= \sqrt{26}\)
\(P_{ \Delta ABC}= \frac{1}{2} \sqrt{26} \cdot h=10 \So h= \frac{20 }{\sqrt{26}}\)
przy czym \(h\) jest odległością punktu \(C\) (tego szukanego) od prostej \(AB\).
Równanie ogólne prostej \(AB\): \(5x-y-7=0\)
równanie parametryczne prostej, na której ma leżeć punkt \(C\) to \(p(t)= \left(t,2t+2 \right)\)
No to \(h= \frac{|5t-2t-2|}{ \sqrt{26} }= \frac{|3t-2|}{ \sqrt{26} }= \frac{20}{ \sqrt{26} } \iff |3t-2|=20 \iff t=-6\ \vee \ t= \frac{22}{3}\)
Zatem są dwa takie punkty: \(C_1= \left(-6,-10 \right) \ C_2= \left( \frac{22}{3} , \frac{50}{3} \right)\)

[radagast]

Obrazek jest taki:

ScreenHunter_1729.jpg (22.24 KiB) Przejrzano 1802 razy

Mogłam się pomylić w rachunkach , bo te trójkąty nie wyglądają na takie o równych polach. Sprawdź sobie. Rozumowanie na pewno jest poprawne.

[NieRozumiem85]

Równanie ogólne prostej \(AB\): \(5x-y-7=0\)
równanie parametryczne prostej, na której ma leżeć punkt \(C\) to \(p(t)= \left(t,2t+2 \right)\)
No to \(h= \frac{|5t-2t-2|}{ \sqrt{26} }= \frac{|3t-2|}{ \sqrt{26} }= \frac{20}{ \sqrt{26} } \iff |3t-2|=20 \iff t=-6\ \vee \ t= \frac{22}{3}\)
Zatem są dwa takie punkty: \(C_1= \left(-6,-10 \right) \ C_2= \left( \frac{22}{3} , \frac{50}{3} \right)\)

Mam pytanie co stało się z tą 7 w sytuacji jak wstawiamy do wzoru na odległość prostej AB od punktu C. Tam nie powinno być tak?

\(\frac{20}{ \sqrt{26} } = \frac{|5x-(2x+2)-7|}{ \sqrt{5^2+1^2} }\)