Oblicz pole| napisz równanie stycznej

[Klusiek2]

1)Oblicz pole trójkąta ograniczonego prosta x-y+6=0,osia OX oraz styczna do wykresu funkcji f(x)=(x+3)(x+1)(x-2) w punkcie o odcietej -2.

2)Napisz równanie stycznej do krzywej f(x)=\(-\frac{1}{2}x^4+ \frac{5}{3}x^3-5x^2+11x+12\)która jest równoległa do prostej 4x-y+7=0

[Galen]

1)
Pierwsza prosta \(y=x+6\) przecina oś OX w punkcie A=(-6;0) i oś OY w (0;6)[/tex]
Drugą prosta to równanie stycznej do wykresu f(x) poprowadzonej przez punkt \(P=(-2;f(-2))=(-2;4)\)
Potrzebna jest pochodna f'
\(f(x)=(x+3)(x+1)(x-2)=(x^2+4x+3)(x-2)=...=x^3+2x^2-5x-6\)
Współczynnik kierunkowy stycznej:
\(f'(x)=3x^2+4x-5\\f'(-2)=12-8-5=-1\)
Styczna:
\(y-4=-1(x+2)\\y=-x+2\)
Narysuj daną prostą i prostą y=-x+2.
Punkt wspólny obu prostych :\(x+6=-x+2\\x=-2\\y=4\\C=(-2;4)\\B=(2;0)\\P_{\Delta\;ABC}= \frac{1}{2}|AB| \cdot h\;\;\;i\;\;h=4\\|AB|=2-(-6)=8\\P= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 =16\)

[Galen]

Zad.2
\(f'(x)=4\;\;\;\;gdyż \;prosta\;równoległa\;\;to\;\;y=4x+7\)
\(f'(x)=-2x^3+5x^2-10x+11=4\\-2x^3+5x^2-10x+7=0\\G(1)=0\\dzielisz\;wielomian\;przez \;\;(x-1)\)
i masz lewą stronę równania rozłożoną na czynniki...
\((x-1)(-2x^2+3x-7)=0\)
Delta z funkcji kwadratowej jest ujemna,więc masz punkt styczności,ale wcześniej policz f(1)
\(f(1)=- \frac{1}{2}+ \frac{5}{3}-5+11+12=19 \frac{1}{6}\)
\(P=(x;f(x))=(1;19 \frac{1}{6})\)
Styczna:
\(y-19 \frac{1}{6}=4(x-1)\\y=4x+15 \frac{1}{6}\)