w okrag o srodku (6,4) wpisano trójkąt równoboczny ABC którego jednym z wierzchołków jest punkt
A (2,6). Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków.
znalazłem rozwiązania do tego zadania w internecie ,ale ich nie rozumiem,mógłby ktoś wytłumaczyć jak to zrobić po kolei?
w okrąg
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Po pierwsze. Skoro S=(6,4) to środek, oraz A=(2,6) to wierzchołek, to
\(|AS|^2=R^2=(6-4)^2+(2-6)^2=4+16=20\)
Z wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, mamy
\(R= \frac{a \sqrt{3} }{3} \So R^2= \frac{a^2}{3} \So a^2=3R^2=60\)
Niech B=(x,y) będzie wierzchołkiem trójkąta.
Odległość \(|BS|^2=20, |AB|^2=a^2=60\), więc
\(\begin{cases}(x-6)^2+(y-4)^2=20\\(x-2)^2+y-6)^2=60 \end{cases}\)
Ten układ ma 2 rozwiązania, będące szukanymi wierzchołkami trójkąta.
Układ równań pewnie umiesz rozwiązać, więc zostawiam w tym miejscu.
\(|AS|^2=R^2=(6-4)^2+(2-6)^2=4+16=20\)
Z wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, mamy
\(R= \frac{a \sqrt{3} }{3} \So R^2= \frac{a^2}{3} \So a^2=3R^2=60\)
Niech B=(x,y) będzie wierzchołkiem trójkąta.
Odległość \(|BS|^2=20, |AB|^2=a^2=60\), więc
\(\begin{cases}(x-6)^2+(y-4)^2=20\\(x-2)^2+y-6)^2=60 \end{cases}\)
Ten układ ma 2 rozwiązania, będące szukanymi wierzchołkami trójkąta.
Układ równań pewnie umiesz rozwiązać, więc zostawiam w tym miejscu.
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
wierzchołki \(\Delta\) leżą na okręgu : \((x-6)^2+(y-4)^2=r^2\)
punkt \(A\) leży na okręgu : \((2-6)^2+(6-4)^2=r^2\) , \(20=r^2\) , \(\\) \(r= \sqrt{20}\)
stąd okrąg : \((x-6)^2+(y-4)^2= 20\)
\(h\) ---wysokość w \(\Delta\) ,\(\\) \(a\)---bok \(\Delta\)
teraz \(\\) \(r = \frac{2}{3} \cdot h=\frac{2}{3} \cdot a \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =a\frac{ \sqrt{3} }{3}\)
stąd \(\sqrt{20} = a\frac{ \sqrt{3} }{3}\) czyli \(\\) \(a=\frac{3 \sqrt{20} }{ \sqrt{3} }\)
teraz prosta przez środek okręgu i dany wierzchołek \(A\) w postaci kierunkowej : \(y=-\frac{1}{2}x+7\)
czyli postć ogólna : \(1 \cdot x+2 \cdot y-14=0\)
szukane wierzchołki \(\Delta\) czyli \(B,C=(x,y)\) są odległe od powyższej prostej o \(\\) \(\frac{a}{2} = \frac{3 \sqrt{20} }{ 2 \cdot \sqrt{3} }=\frac{3 \sqrt{5} }{ \sqrt{3} }\)
stosujemy wzór na odległość punktu od prostej : \(\frac{3 \sqrt{5} }{ \sqrt{3} } =\frac{|1 \cdot x+2 \cdot y-14 |}{ \sqrt{1+4} }\)
pozostaje pracowicie rozwiązać układ równań : \((x-6)^2+(y-4)^2= 20\) , \(5 \sqrt{3}=|x+2y-14|\)
punkt \(A\) leży na okręgu : \((2-6)^2+(6-4)^2=r^2\) , \(20=r^2\) , \(\\) \(r= \sqrt{20}\)
stąd okrąg : \((x-6)^2+(y-4)^2= 20\)
\(h\) ---wysokość w \(\Delta\) ,\(\\) \(a\)---bok \(\Delta\)
teraz \(\\) \(r = \frac{2}{3} \cdot h=\frac{2}{3} \cdot a \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =a\frac{ \sqrt{3} }{3}\)
stąd \(\sqrt{20} = a\frac{ \sqrt{3} }{3}\) czyli \(\\) \(a=\frac{3 \sqrt{20} }{ \sqrt{3} }\)
teraz prosta przez środek okręgu i dany wierzchołek \(A\) w postaci kierunkowej : \(y=-\frac{1}{2}x+7\)
czyli postć ogólna : \(1 \cdot x+2 \cdot y-14=0\)
szukane wierzchołki \(\Delta\) czyli \(B,C=(x,y)\) są odległe od powyższej prostej o \(\\) \(\frac{a}{2} = \frac{3 \sqrt{20} }{ 2 \cdot \sqrt{3} }=\frac{3 \sqrt{5} }{ \sqrt{3} }\)
stosujemy wzór na odległość punktu od prostej : \(\frac{3 \sqrt{5} }{ \sqrt{3} } =\frac{|1 \cdot x+2 \cdot y-14 |}{ \sqrt{1+4} }\)
pozostaje pracowicie rozwiązać układ równań : \((x-6)^2+(y-4)^2= 20\) , \(5 \sqrt{3}=|x+2y-14|\)