zadania

[Krystek102]

Dwa wierzchołki trójkąta równoramiennego ABC znajdują się na paraboli o równaniu
\(y= \frac{1}{4} (x−4)^2\), zaś trzecim wierzchołkiem trójkąta jest wierzchołek paraboli. Wyznacz
współrzędne wierzchołków tego trójkąta, jeśli wiadomo, że kąt rozwarty tego trójkąta ma miarę
120 st.
proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie

[Binio1]

Dwa wierzchołki trójkąta równoramiennego ABC znajdują się na paraboli o równaniu
\(y= \frac{1}{4} (x−4)^2\), zaś trzecim wierzchołkiem trójkąta jest wierzchołek paraboli. Wyznacz
współrzędne wierzchołków tego trójkąta, jeśli wiadomo, że kąt rozwarty tego trójkąta ma miarę
120 st.
proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie

Ja bym zrobił to tak może idzie prościej:

1. Ze wzoru funkcji wyliczam wierzchołek

\(W=(4, 0)\)

2. Jeżeli trójkąt jest równoramienny to prawe jego ramie zawiera się w prostej nachylonej do osi x pod kątem \(90 - 60 = 30^{ \circ }\)
Więc mogę skorzystać z wzoru na kąt nachylenia prostej do osi x \((y = ax+b \So a = \tan \alpha)\)

\(\tan 30^{\circ} = a\)
\(a = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

3. A więc nasza prosta musi mieć współczynnik kierunkowy równy \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) i przechodzić przez wierzchołek paraboli.

\(0 = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 + b\)
\(b = -\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

\(g(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{4\sqrt{3}}{3}\)

4. Wszukamy punktów przecięcia się naszej prostej z parabolą

\(\frac{1}{4}(x-4)^2 = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{4\sqrt{3}}{3}\)
\(x_{1} = 4\)
\(x_{2} = \frac{12+4\sqrt{3}}{3}\)

Dla 4 nasza funkcja przecina się w wierzchołku czyli interesuje nas \(x_{2}\)

Wyliczamy wartość funkcji dla \(x_{2}\)

\(y = \frac{1}{4}(\frac{12+4\sqrt{3}}{3}-4)^2 = \frac{4}{3}\)

i otrzymujemy współrzędne punktu \((\frac{12+4\sqrt{3}}{3} ; \frac{4}{3})\)

5. Wyliczamy kolejny punkt przecięcia znajduje się on w miejscu odbicia punktu \(x_{2}\) przez wierzchołek.

\(\frac{12+4\sqrt{3}}{3} - 4 = \frac{4\sqrt{3}}{3}\)
\(4 - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{12-4\sqrt{3}}{3}\)

i wyliczamy wartosc funkcji dla tej wartosci (powinna być taka sama jak powyżej ponieważ trójkąt jest równoramienny)

\(y = \frac{1}{4}( \frac{12-4\sqrt{3}}{3}-4)^2 = \frac{4}{3}\)

6. I mamy wszystkie punkty

\(A = (\frac{12-4\sqrt{3}}{3}; \frac{4}{3})\)
\(B = (4; 0)\)
\(C = (\frac{12+4\sqrt{3}}{3}; \frac{4}{3})\)