Równanie prostej

[Januszgolenia]

Dane są punkty A=(-1,-2), B=(3,1), C=(1,4). Prosta l jest równoległa do prostej AC i dzieli trójkąt ABC na dwie figury o równych polach. Znajdź równanie prostej l.

[radagast]

ScreenHunter_1539.jpg (20.27 KiB) Przejrzano 2397 razy

Prosta AC ma równanie kierunkowe \(y=3x+1\), a ogólne \(3x-y+1=0\)
Odległość punktu B od tej prostej wynosi \(H=\frac{3 \cdot 3-1 \cdot 1+1}{ \sqrt{3^2+1^2} }= \frac{9}{ \sqrt{10} }\) i jest to wysokość trójkąta ABC
Trójkąt DBE jest podobny do ABC w skali \(\frac{1}{ \sqrt{2} }\) zatem \(h=\frac{9}{ \sqrt{20} }= \frac{9}{2 \sqrt{5} }\)
Prosta DE ma równanie ogólne \(3x-y+ \alpha =0\), przy czym odległość punktu D od niej musi wynosić \(\frac{9}{2 \sqrt{5} }\)
Stąd \(\frac{|3 \cdot 3-1 \cdot 1+ \alpha| }{ \sqrt{10} }=\frac{9}{2 \sqrt{5} }\)
czyli \(|8+ \alpha |=\frac{9 \sqrt{2} }{2 }\)
\(\alpha =-8-\frac{9 \sqrt{2} }{2 } \vee \alpha =-8+\frac{9 \sqrt{2} }{2 }\)
Ten mniejszy odrzucamy (wymyśl dlaczego) i mamy odpowiedź:
szukane równanie to \(3x-y-8+\frac{9 \sqrt{2} }{2 } =0\)

[patrykavatar]

Odległość punktu B od tej prostej wynosi \(H= \frac{3*3-1*1+1}{ \sqrt{3^2+1^2} }\)

Jak to wyliczyłeś?

[radagast]

podstawiłam do wzoru:

ScreenHunter_1565.jpg (15.8 KiB) Przejrzano 2303 razy

[patrykavatar]

Już wszystko jasne, dziękuję za odpowiedź

[ania1398]

W jaki sposób zostało tutaj wyliczone podobieństwo trójkątów?

[radagast]

Skoro proste DE i AC są równoległe , to trójkąty są podobne (cecha kk).
Skoro trójkąt DBE ma pole równe połowie pola trójkąta ABC , to skala podobieństwa wynosi \(\sqrt{ \frac{1}{2} }\).

[RazDwaTrzCzteryPięć]

Czemu odrzucamy ten mniejszy?
Siedzę nad tym już chwilę i nie mogę wpaść na to .. :/

[radagast]

Czemu odrzucamy ten mniejszy?
Siedzę nad tym już chwilę i nie mogę wpaść na to .. :/

bo dla tego mniejszego \(\alpha\) prosta DE jest po niewłaściwej stronie prostej CE