Trapez, wspolrzedne

[lamus18]

Odcinek o koncach A(−2,6) B (−5,3) jest podstawą trapezu ABCD. Druga podstawa trapezujest cztery razy dłuzsza i ma srodek w punkcie K(−2,2). Wyznacz wspolrzedne wierzcholkowC i D tego trapezu i oblicz pole.

[wrobel93b]

\(|AB| = \sqrt{(-5 + 2)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) (krótsza)
\(|CD| = 4 \cdot |AB| = 12\sqrt{2}\)

Czego będziemy potrzebowali? Wyznaczyć prostą na której leżą punkty C i D. Jak to zrobić ? Jest ona równoległa do prostej AB, której wystarczy obliczyć współczynnik kierunkowy oraz przechodzi przez punkt S, zatem:

\(y = ax + b\) (prosta AB)

\(\begin{cases}f(-2) = 6 \\ f(-5) = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases}6 = -2a + b \\ 3 = -5a + b \end{cases}\)

\(\begin{cases} a = 1\\ b = 8\end{cases}\)

Zajmijmy się teraz prostą CD, wiadomo, że jest ona równoległa do prostej AB, czyli mają takie same współczynniki kierunkowe, więc mamy już równanie:

\(y = x + b\) (wystarczy teraz podstawić punkt K)
\(2 = -2 + b \So b = 4\)

Prosta CD: \(y = x + 4\)

Aby obliczyć teraz wierzchołki trzeba będzie rozwiązać równanie kwadratowe, pamiętając o tym, że odległość punktu K od C i D jest dokładnie dwa razy większa niż długość \(|AB|\) (bo podstawa jest cztery razy dłuższa).

\(K(-2, 2), \ C(x_1, x_1 + 4), \ D(x_2, x_2 + 4)\)

\(|KC| = 6\sqrt{2}\)
\(|KC| = \sqrt{(x + 2)^2 + (x + 4 - 2)^2} = 6\sqrt{2}\)

\((x + 2)^2 + (x + 2)^2 = 36 \cdot 2\)
\(x^2 + 4x + 4 + x^2 + 4x + 4 - 72 = 0\)
\(2x^2 + 8x - 64 = 0\)

\(x^2 + 4x - 32 = 0\)
\((x - 4)(x + 8 ) = 0\)

Czyli otrzymaliśmy nasze punkty \((4, 4 + 4), (-8, -8 + 4) \So (4, 8 ), (-8, -4)\)