Wspolrzedne w rombie

[lamus18]

W rombie ABCD wierzchołek A(−2,−2) zaś prosta zawierajaca bok AB ma równanie x−2y−2=0. Punkt S(1,2) jest środkiem rombu. Wyznacz wspólrzedne pozostałych wierzchołków. Nie rozumie kompletnie geo analitycznej, więc prosiłabym o rozwiązanie z wytłumaczeniem

[wrobel93b]

\(A(-2, -2), S(1, 2)\)
\(S = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (\frac{-2 + x}{2}, \frac{-2 + y}{2}) = (1, 2)\)

\(-2 + x = 2 \So x = 4\)
\(-2 + y = 4 \So y = 6\)

\(C(4, 6)\)

Znajdźmy teraz prostą na której leżą punkty A i C: (a dokładnie wystarczy nam tylko współczynnik kierunkowy)

\(y = ax + b\)

\(\begin{cases} -2a + b = -2 \\ 4a + b = 6 \end{cases}\)

\(a = \frac{4}{3}\)

Prosta przechodząca przez punkty B i D przechodzi też przez punkt S, oraz jej współczynnik kierunkowy jest prostopadły do współczynnika prostej AC, zatem skoro jest prostopadły to spełnia zależność:

\(a_1 \cdot a_2 = -1\)
\(\frac{4}{3} \cdot a_2 = -1\)
\(a_2 = -\frac{3}{4}\)

(przechodzi przez punkt S)
\(2 = -\frac{3}{4} + b \So b = \frac{11}{4}\)

Zatem równanie prostej przechodzącej przez punkty B i D to \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{11}{4}\)

To co Ci zostało to rozwiązać układ równań (wtedy otrzymasz punkt B)

\(\begin{cases} y = -\frac{3}{4}x + \frac{11}{4} \\ y = \frac{1}{2}x - 1 \end{cases}\)

Wtedy \(B(3, \frac{1}{2})\) oraz punkt D liczymy tak jak w przypadku punktu A i C - czyli za pomocą środka.

\(S(1, 2) = (\frac{3 + x}{2}, \frac{0.5 + y}{2})\)

\(3 + x = 2 \So x = -1\)
\(0.5 + y = 4 \So y = \frac{7}{2}\)

\(D(-1, \frac{7}{2})\)

[Galen]

Znasz współrzędne punktu A(-2;-2) i środka przekątnej AC czyli S=(1;2),to obliczysz współrzędne punktu C.
\(C=(x;y)\\ \frac{-2+x}{2}=1\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\; \frac{-2+y}{2}=2\)
\(x=4\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;y=6\\C=(4;6)\)
Przekątna AC ma równanie:
\(y= \frac{4}{3}x+ \frac{2}{3}\)
Przekątna BD jest prostopadła do AC i przechodzi przez S
\(2=- \frac{3}{4}+b\\b=2 \frac{3}{4}= \frac{11}{4}\\prosta\;BD\;:\;y=- \frac{3}{4}x+ \frac{11}{4}\)
Wyznacz punkt B z układu równań:
\(\begin{cases} AB:\;y= \frac{1}{2}x-1\\BD:\;y=- \frac{3}{4}x+ \frac{11}{4} \end{cases}\)
\(\frac{1}{2}x-1=- \frac{3}{4}x+ \frac{11}{4}\\2x-4=-3x+11\\5x=15\\x= 3\;\;\;\;i\;\;\;y= \frac{1}{2}\\B=(3; \frac{1}{2})\)
Punkt S jest środkiem przekątnej BD
\(D=(x;y)\\ \frac{x+3}{2}=1\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\; \frac{y+ \frac{1}{2} }{2}=2\\x=-1\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;y=3 \frac{1}{2}\\D=(-1;3\frac{1}{2})\)

[lamus18]

A skad sie wzieły te układy rownań ?

Chodzi mi o tę drugą linijkę a raczej wspólczynnik przy x, ta y= \(\frac{1}{2}\) - 1

[wrobel93b]

Pytasz o układ równań prostych AB oraz BD ? Prostą BD obliczyliśmy, a prosta AB to jest forma przekształcona z zadania \(x−2y−2=0 \So -2y = -x + 2 \So y = \frac{1}{2}x - 1\)

[lamus18]

A racja, dziękuje!