STYCZNE DO DWÓCH PARABOLI!

[zielonaniunia]

Mamy wzór na dwie parabole F(x)=-1/4x^2+1, g(x)= x^2-4x+6. Napisz równania wszystkich wspólnych stycznych do tych paraboli.

[panb]

Niech \(P= \left( a,1- \frac{a^2}{4}\right)\) będzie punktem styczności na wykresie funkcji f. \(f'(x)=- \frac{x}{2}\)
Wtedy równanie stycznej w punkcie P do wykresu funkcji f ma postać

• \(y-(1- \frac{a^2}{4})=- \frac{a}{2}(x-a) \iff y=- \frac{1}{2}ax+ \frac{a^2}{4}+1\)

Niech \(Q=(b, b^2-4b+6)\) będzie punktem styczności na wykresie funkcji g. \(g'(x)=2x-4\)
Wtedy równanie stycznej w punkcie Q do wykresu funkcji g ma postać

• \(y-(b^2-4b+6)=(2b-4)(x-b) \iff y=(2b-4)x+6-b^2\)

Ponieważ to ma być ta sama styczna, więc \[\begin{cases}- \frac{1}{2}a=2b-4\\ \frac{a^2}{4}+1=6-b^2 \end{cases} \iff \begin{cases} a+4b=8\\a^2+4b^2=20\end{cases}\] Rozwiązaniem tego układu równań są pary \(a=4, \,\, b=1\) oraz \(a=-0,8,\,\,b=2,2\)

Odpowiedź: Są dwie wspólne styczne

• \(y=-2x+5\)

oraz

• \(y=0,4x+1,16\)

[/odp]