okrąg wpisany w trapez

[volti]

W trapez równoramienny ABCD wpisano okrąg o środku O. Pokaż, że średnia arytmetyczna długości podstaw trapezu ABCD jest równa √|OA|² + |OD|²

Proszę o obliczenia.

[tylkojedynka]

zauważ, że trójkąt AOD jest prostokątny stąd: \(\begin{vmatrix} OA\end{vmatrix} ^2+ \begin{vmatrix} OD\end{vmatrix}^2= \begin{vmatrix} AD\end{vmatrix} ^2\)
dodatkowo z tw. o czworokącie opisanym na okręgu: \(\begin{vmatrix}AB \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}CD \end{vmatrix} =2 \begin{vmatrix} AD\end{vmatrix}\)

[volti]

Wydawało mi się, że jest prostokątny, ale nie potrafię tego uzasadnić.

[volti]

Postawy oznaczyłem jako a i b, a ramiona jako c i z tw. o okręgu wpisanym w czworokąt i wychodzi, że: 2c = a+b, więc przekształciłem tezę i napisałem, że c = \sqrt{x^2 + y^2}, gdzie x i y to odcinki OA i OD

[tylkojedynka]

środek okręgu wpisanego w trapez leży na dwusiecznych kątów wewnętrznych . Jeśli kąty trapezu oznaczymy:
kąt ostry:\(2 \alpha\)
kąt rozwarty:\(2 \beta\)
To z własności kątów trapezu mamy:\(2 \alpha +2 \beta =180^o\) stąd \(\alpha + \beta =90^o\)
W trójkącie OAD: \(\alpha + \beta + \gamma =180^o\)
\(90^o+ \gamma =180^o\)
\(\gamma =90^o\)

[volti]

O to mi właśnie chodziło! Dzięki wielkie!