okrąg, styczna i punkt

[volti]

Dany jest okrąg o środku O=(2,2) i promieniu r=2 oraz styczna do okręgu w punkcie A, którego współrzędne są liczbami dodatnimi. Styczna ta przecina oś OX w punkcie B=(6,0). Wyznacz współrzędne punktu A.

Proszę o obliczenia

[Galen]

Równanie prostej y=ax+b
i masz dany punkt B=(6;0)
6a+b=0
b=-6a
To już wstaw do równania prostej:
\(y=ax-6a\\ax-y-6a=0\)
Odległość prostej i środka okręgu ma być równa promieniowi r=2
\(\frac{|2a-2-6a|}{ \sqrt{a^2+1} }=2\)
\(|2a-2-6a|=2 \sqrt{a^2+1}\\|-4a-2|=2 \sqrt{a^2-1}\)
Podnosisz obie strony do kwadratu
\(16a^2+16a+4=4a^2+4\\12a^2+16a=0\\3a^2+4a=0\\a(3a+4)=0\\a_1=0\;\;\;\;\;a_2=- \frac{4}{3}\)
Punkt A ma być w pierwszej ćwiartce układu,to prosta y=0 odpada.
Styczna ma równanie:
\(y=- \frac{4}{3}x+8\)
Podstaw ten wzór do równania okręgu i obliczysz współrzędne punktu A.
\((x-2)^2+(y-2)^2=4\\(x-2)^2+(- \frac{4}{3}x+8-2)^2=4\\(x-2)^2+(6- \frac{4}{3}x)^2=4\)
Po rozpisaniu i uporządkowaniu jest
\(\frac{25}{9}x^2-20x+36=0\\\Delta=400-4 \cdot 36 \cdot \frac{25}{9}=0\\x= \frac{18}{5}=3,6\\y= \frac{16}{5}=3,2\\A=(3,6\;;\;3,2)\)

[volti]

Dziękuję, zrobiłem głupi błąd rachunkowy.