Dany jest trójkąt ABC, w którym bok BC jest dwa razy dłuższy od boku AB, a kąt ABC jest dwa razy większy od kąta BAC. Pokaż, że |AC|² = 6|AB|²
Proszę o obliczenia
trójkąt- dowodzenie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: trójkąt- dowodzenie
rysunek ilustrujący sytuację:
Z twierdzenia cosinusów: \(|AC|^2=x^2+4x^2-2 \cdot x\cdot2x \cdot \cos2\alpha=5x^2-4x^2(2\cos^2\alpha-1)\)
Stąd \(|AC|^2=9x^2-8x^2\cos^2\alpha\).
Przydałby się \(\cos^2\alpha\). Na szczęście jest jeszcze tw. sinusów.
Z twierdzenia sinusów, mamy:
\(\frac{|AC|}{\sin2\alpha} = \frac{2x}{\sin\alpha} \iff \frac{|AC|}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2x}{\sin\alpha} \So \cos\alpha= \frac{|AC|}{4x}\).
Wstawiamy do równości powyżej i .... a zresztą sam sprawdź.
- rys.png (12.14 KiB) Przejrzano 2312 razy
Stąd \(|AC|^2=9x^2-8x^2\cos^2\alpha\).
Przydałby się \(\cos^2\alpha\). Na szczęście jest jeszcze tw. sinusów.
Z twierdzenia sinusów, mamy:
\(\frac{|AC|}{\sin2\alpha} = \frac{2x}{\sin\alpha} \iff \frac{|AC|}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2x}{\sin\alpha} \So \cos\alpha= \frac{|AC|}{4x}\).
Wstawiamy do równości powyżej i .... a zresztą sam sprawdź.
