srodek i skala jednokładosci

[kate84]

Dane są punkty A=(-4,-1), B=(-2,3), C=(2,-3), D=(5,3).
Wyznacz srodek i skalę jednokładności przekształcającej odcinek AB na CD. Rozwaz dwa przypadki.

[Panko]

Odcinki \(\kre{AB}\) \(\parallel\) \(\kre{CD}\) bo \(\vec{AB}=[2.4]\) , \(\vec{CD}=[3,6]\) oraz \(\begin{vmatrix}2& 4\\ 3&6\end{vmatrix} =0\)
...........................................................................
Są dwie drogi : albo język wektora , jak w definicji jednokładności , albo wspomagając się rysunkiem możemy zauważyć ,że
a) przecięcie dwóch prostych : \(BD\) i \(AC\) daje jeden środek jednokładności \(_1\) i wtedy skala \(k_1=\frac{|DC|}{|BA|}\)
b) przecięcie prostych \(BC\) , \(AD\) daje drugi środek jednokładności \(S_2\) i skala \(k_2=-\frac{|DC|}{|BA|}\)

[Galen]

Jednokładność prosta o środku S i skali k.
\(J_S^k(B)=D\;\;\;\;\;i\;\;\;\;J_S^k(A)=C\)
\(\vec{SD}=k \cdot \vec{SB}\;\;\;\;i\;\;\;\; \vec{SC}=k \cdot \vec{SA}\;\;i\;\;S=(x;y)\)
\([5-x;3-y]=k \cdot [-2-x;3-y]\;\;\;\;i\;\;\;\;[2-x;-3-y]=k \cdot [-4-x;-1-y]\)
\(-2k-2x=5-x\;\;\;i\;\;3k-ky=3-y\;\;\;\;\;\;i\;\;\;-4k-4x=2-x\;\;\;i\;\;\;-k-ky=-3-y\)
Otrzymasz:
\(k= \frac{3}{2}\;\;\;\;\;i\;\;\;\;S=(-16;3)\)
Jednokładność odwrotna o skali s ujemnej i środku jednokładności O.
\(J_O^s(A)=D\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;J_O^s(B)=C\)
\(\vec{OD}=s \cdot \vec{OA}\;\;\;\;\;i\;\;\;\; \vec{OC}=s \cdot \vec{OB}\)
\(\begin{cases}2-x=s(-2-x)\\5-x=s(-4-x) \end{cases}\)
i
\(\begin{cases}3-y=s(-1-y)\\-3-y=s(3-y) \end{cases}\)

Otrzymasz \(s=- \frac{3}{2}\)
\(O=(- \frac{2}{5}; \frac{3}{5})\)