Hiperbola

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Worldmaster
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 110
Rejestracja: 12 wrz 2014, 17:51
Podziękowania: 48 razy
Płeć:

Hiperbola

Post autor: Worldmaster » 23 lis 2014, 21:07

Na hiperboli o równaniu \(y= \frac{6}{x}\)gdzie \(x \neq 0\) obrano punkty A(2,3) i B(6,1). Wyznacz na tej hiperboli taki punkt C o ujemnej odciętej aby pole trójkąta ABC było najmniejsze.

Awatar użytkownika
patryk00714
Mistrz
Mistrz
Posty: 8785
Rejestracja: 13 mar 2011, 13:28
Lokalizacja: Śmigiel
Podziękowania: 92 razy
Otrzymane podziękowania: 4441 razy
Płeć:

Post autor: patryk00714 » 23 lis 2014, 21:35

szukany punkt jest \(C=(x,\frac{6}{x}) \qquad x<0\)

\(|AB|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\)

\(l:y_{AB}=-\frac{1}{2}x+4\) zatem \(x+2y-8=0\)

mamy \(h=d(C,l)=\frac{|x+\frac{12}{x}-8|}{\sqrt{5}}\)

\(P(x)=\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{|x+\frac{12}{x}-8|}{\sqrt{5}}=|x+\frac{12}{x}-8|=|\frac{x^2-8x+12}{x}|=\frac{|x^2-8x+12|}{|x|}=\frac{-x^2+8x-12}{-x}=x-8+\frac{12}{x}\)

\(P'(x)=1-\frac{12}{x^2}=\frac{x^2-12}{x^2} =0 \iff x=-2\sqrt{3}\)

mamy tu naturalnie minimum.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!

\(\exp (i \pi) +1=0\)

marcin098
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 15 lis 2015, 15:23
Płeć:

Post autor: marcin098 » 19 lis 2016, 17:04

Mam pytanko , dlaczego wartość bezwzględna w liczniku P(x) została ściągnięta z minusem, ?

poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 316
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 185 razy
Płeć:

Re:

Post autor: poetaopole » 10 gru 2018, 08:26

marcin098 pisze:Mam pytanko , dlaczego wartość bezwzględna w liczniku P(x) została ściągnięta z minusem, ?
Dobre pytanie :) Autorowi wyszło ujemne pole trójkąta (ale tego nie zauważył: \(x<0\)), przez co pomylił min z max, ale pomijając ten detal - ogólnie rozwiązanie fajne.