Równanie kierunkowej prostej

[djarta]

1. W trójkącie ABC dany jest wierzchołek A(-6 ; -2), środek E(0 ; -1) boku AB i wektor \(\vec{BC}\)=[-8 ; 4]. Wyznacz równania kierunkowe prostych, w któych zawierają się boki trójkąta ABC.

2. W trójkącie ABC dane są: A(-3 ; -3), \(\vec{AB}\)=[7 ; 0] oraz środek ciężkości S(\(3\frac{1}{3} ; -1\frac{1}{3}\)). Oblicz miarę kąta rozwartego ABC tego trójkąta.

[jola]

ad.1
ze wzoru na środek odcinka ( E - środek odcinka AB ) wyliczamy współrzędne B(6,0 ).
Mając dane współrzędne początku wektora B i współrzędne wektora \(\vec{BC}\) , obliczamy współrzędne C(-2,4) .
A teraz , gdy dane są współrzędne wierzchołków trójkąta , wyznaczam równania odpowiednich prostych .
\(pr.AB\: y=- \frac{1}{6}x-1\) , czyli współczynnik kierunkowy \(m_{AB} = - \frac{1}{6}\)
\(pr.AC\: y= \frac{3}{2}x+7\) , czyli współczynnik kierunkowy \(m_{AC} = \frac{3}{2}\)

\(pr.BC\: y=- \frac{1}{2}x+3\) , czyli współczynnik kierunkowy \(m_{BC} = - \frac{1}{2}\)

[djarta]

Jak jest wyliczone współrzedne B bo mi nie wychodzi nic ?

[jola]

ad,2
A(-3;-3) i \(\vec{AB}= \left[7,0 \right] \So B(4,-3)\)
ze wzoru na współrzędne środka ciężkości trójkąta wyliczam współrzędne punktu \(C(x_C,y_C)\)
\(\frac{-3+4+x_C}{3} = \frac{10}{3} [/tex i \( \frac{-3-3+y_C}{3} = \frac{-4}{3} [/tex ,
skąd C(9;2)
Obliczam długości boków AB = 7 , AC = 13 i BC = \(5 \sqrt{2}\)
Kąt ostry jest naprzeciw najdłuższego boku AC , czyli kąt przy B
ze wzoru na cosinus kąta między wektorami ( z iloczynem skalarnym wektorów) obliczam\(cos \angle ABC = \frac{ \vec{BA} \circ \vec{BC} }{BA \cdot BC} = \frac{-35}{35 \sqrt{2} }\)
Zatem \(cos \angle ABC = - \frac{ \sqrt{2} }{2}\) , czyli \(| \angle ABC|=135^o\)\)\)

[djarta]

juz zad 1 kumam

[jola]

wzór na współrzędne środka odcinka jest w tablicach
Niech \(B(x_B;y_B)\) .
Wtedy \(\frac{x_A+y_B}{2} = x_E = 0 \wedge \frac{y_A+y_B}{2} = y_E = -1\) , czyli
\(\frac{-6+x_B}{2} = 0 \wedge \frac{-2+y_B}{2}= -1\)
stąd \(x_B=6 \wedge y_B=0\) , czyli B(6;0)

[jola]

ad 2.
Jeżeli nie znasz iloczynu skalarnego , to cosinus tego kąta można policzyć z tw. cosinusów
\(AC^2=AB^2+BC^2-2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos \angle ABC\)
\(169=49+50-70 \sqrt{} 2 \cdot cos \angle ABC \So cos \angle ABC = - \frac{ \sqrt{2} }{2}\)

[djarta]

skad sie wzielo te 10/3, -4/3 i dlugosci boku?

[agent0067]

czemu w 2 zadaniu jest 169, jak to obliczyć?

[Galen]

\(13^2=169\\|AC|=13\)