5 zadań z geometrii analitycznej na dowodzenie

[zaba900]

Witam mam tutaj kilka zadań z zbioru Pazdro z którymi nie bardzo umiem sobie poradzić, proszę o wytłumaczenie "na chłopski rozum" i najważniejsze podanie twierdzeń i ich treści które są potrzebne aby je zrobić, to raczej nie jest dział z którego jestem mocny. Przynajmniej jak nie umiem rozwiązać( pewnie nie znalazłem i nie znam jakiś twierdzeń/faktów z geometrii) to może po analizie zadań będę umieć robić podobne i douczę się czegoś twierdzeń itd.Albo chociaż rozpiski co po kolei trzeba zrobić.
3.23*
W sześciokącie foremnym ABCDEF dane są \(\vec{AB}=\vec{a}, \vec{AF}=\vec{b}\), Wyraź w zależności od \(\vec{a}, \; \vec{b}\) wektory \(\vec{AC},\vec{AD},\vec{AE},\vec{BC},\vec{CF}\)

3.24*

Wykaż,że jeżeli w czworokącie przekątne dzielą się na połowy to wielokąt jest równoległobokiem.

3.25*

Uzasadnij, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw.

3.26*

Uzasadnij że odcinek łączący środki przekątnych dowolnego trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa połowie różnicy długości podstaw.

3.27*

W trójkącie ABC bok AB ma długość c. Punkt M,N leżą odpowiednio na bokach CA i CB tak ,że |CM|:|MA|=|CN|:|NB|=2:1. Wyznacz długość odcinka MN

z góry dziękuję za wszelkie wskazówki/pomoc. Pozdrawiam

[Galen]

3.23
Narysuj sześciokąt foremny i jego środek oznacz S.
\(\vec{AB}= \vec{a}= \vec{FS}= \vec{SC}= \vec{ED} \\
\vec{AF}= \vec{b}= \vec{CD}= \vec{BS}= \vec{SE}\)

\(\vec{AC}= \vec{AF}+ \vec{FS}+ \vec{SC}= \vec{b}+2 \vec{a}\\
\vec{AD}= \vec{AF}+ \vec{FS}+ \vec{SE}+ \vec{ED}= \vec{b}+ \vec{a}+ \vec{b}+ \vec{a}=2 \vec{a}+2 \vec{b}\\
\vec{AE}= \vec{AF}+ \vec{FS}+ \vec{SE}= \vec{b}+ \vec{a}+ \vec{b}= \vec{a}+2 \vec{b}\\
\vec{BC}= \vec{BS}+ \vec{SC}= \vec{b}+ \vec{a}\\
\vec{CF}= \vec{CS}+ \vec{SF}=- \vec{a}- \vec{a}=-2 \vec{a}\)

[Galen]

Zad.25 i 26 zrobiła Irena

http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=20&t=20352

[Galen]

Zad.27
Zastosuj tw.Talesa.
Wykonaj rysunek.
Z odwrotnego tw.Talesa wynika,że MN równoległe do AB.
\(\frac{CM}{MA}= \frac{2}{1}\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\; \frac{CM}{CA}= \frac{2}{3}\;\; \Rightarrow \;\; \frac{MN}{AB}= \frac{2}{3}\)
\(\frac{MN}{c}= \frac{2}{3}\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;|MN|= \frac{2}{3}c\)

[irena]

3.24*

Wykaż,że jeżeli w czworokącie przekątne dzielą się na połowy to wielokąt jest równoległobokiem.

Czworokąt nazwałam ABCD, S to punkt przecięcia przekątnych.
Skoro przekątne dzielą się na połowy, to:

\(\begin{cases}\vec{AS}=\vec{SC}\\\vec{SD}=\vec{BS} \end{cases}\)

Stąd:
1)
\(\begin{cases}\vec{AD}=\vec{AS}+\vec{SD}\\\vec{BC}=\vec{BS}+\vec{SC} \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \vec{AD}=\vec{BC}\)

oraz:
2)
\(\begin{cases}\vec{AB}=\vec{AS}+\vec{SB}=\vec{AS}-\vec{BS}\\\vec{DC}=\vec{SC}+\vec{DS}=\vec{SC}-\vec{SD} \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \vec{AB}=\vec{DC}\)

Z 1) wynika, że odcinki AD i BC są równoległe i równej długości.
Z 2) wynika, że odcinki AB i CD są równe i równoległe.

Czworokąt ABCD jest więc równoległobokiem.

[szarlotka]

do 3.24
dlaczego w pierwszym przypadku dodajemy wektory a w drugim odejmujemy?

[szarlotka]

moze jednak ktos?

[radagast]

@szarlotka
Dodaj temat i zadaj pytanie. Wtedy możesz liczyć na odpowiedz. Dopisywanie pytań do cudzych postów jest nieskuteczne.

[PTAS2YSK0]

Witam,
Do @szarlotka.
W zad. 3.24 w drugim przypadku @irena dodaje wektory przeciwne.