Prostopadłościenna puszka

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
avleyi
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 236
Rejestracja: 15 maja 2022, 13:41
Podziękowania: 290 razy
Płeć:

Prostopadłościenna puszka

Post autor: avleyi » 22 lis 2022, 00:33

Prostopadłościenna zamknięta puszka ma pojemność \(36cm^3\). Jej dno jest prostokątem, którego jeden bok jest trzy razy krótszy od drugiego. Wyraź pole powierzchni całkowitej tej puszki jako funkcję długości krótszego boku jej dna i oblicz najmniejszą wartość pola tej puszki

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2821
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 1248 razy
Płeć:

Re: Prostopadłościenna puszka

Post autor: kerajs » 22 lis 2022, 00:37

boki puszki: x, 3x, 36/(3x*x)
P_c(x)=2(x*3x+x*36/(3x*x)+3x*36/(3x*x))
uprość to wyrażenie, oblicz pochodną i znajdź minimum

Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16307
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9820 razy
Płeć:

Re: Prostopadłościenna puszka

Post autor: eresh » 22 lis 2022, 09:59

avleyi pisze:
22 lis 2022, 00:33
Prostopadłościenna zamknięta puszka ma pojemność \(36cm^3\). Jej dno jest prostokątem, którego jeden bok jest trzy razy krótszy od drugiego. Wyraź pole powierzchni całkowitej tej puszki jako funkcję długości krótszego boku jej dna i oblicz najmniejszą wartość pola tej puszki
\(x\cdot 3x\cdot H=36\\
H=\frac{36}{3x^2}\\
H=\frac{12}{x^2}\\
x>0\)


\(P_C=2(x\cdot 3x+x\cdot \frac{12}{x^2}+3x\cdot\frac{12}{x^2})\\
P(x)=6x^2+\frac{24}{x}+\frac{72}{x}\\
P(x)=6x^2+\frac{96}{x}\\
P'(x)=12x-\frac{96}{x^2}=\frac{12x^3-96}{x^2}=\frac{12(x^3-8)}{x^2}\\
P'(x)=0\iff x=2\\
P'(x)>0\iff x\in 2\\
P'(x)<0\iff 0<x<2\\
P_{min}=P(2)=6\cdot 4+\frac{96}{2}=72\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2821
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 1248 razy
Płeć:

Re: Prostopadłościenna puszka

Post autor: kerajs » 23 lis 2022, 10:44

kerajs pisze:
22 lis 2022, 00:37
P_c(x)=2(x*3x+x*36/(3x*x)+3x*36/(3x*x))
uprość to wyrażenie, oblicz pochodną i znajdź minimum
Czyli:
eresh pisze:
22 lis 2022, 09:59
\(
P(x)=6x^2+\frac{96}{x}\\
P'(x)=12x-\frac{96}{x^2}=\frac{12x^3-96}{x^2}=\frac{12(x^3-8)}{x^2}\\
P'(x)=0\iff x=2\\
P'(x)>0\iff x\in 2\\
P'(x)<0\iff 0<x<2\\
P_{min}=P(2)=6\cdot 4+\frac{96}{2}=72\)
Najwyraźniej eresh sądziła, iż samodzielnie nie potrafisz tego zrobić. Miała rację?