Pole trójkąta ABC
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Pole trójkąta ABC
Dane są punkty \(A(-2,3)\) oraz \(B(2,-1)\). Punkt C należy do krzywej o równaniu \(y= \frac{1}{4}{(x-2)}^{2}\). Wiedząc, że pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze z możliwych wyznacz współrzędne punktu \(C\) i wartość minimalnego pola.
Ostatnio zmieniony 01 paź 2022, 18:55 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: Pole trójkąta ABC
Metoda pierwsza, nie będę kończył...
Niech \(C(x,{1\over4}(x-2)^2)\wedge x \in\rr\)
Wtedy
\(\begin{cases}\vec{AC}=[x+2, {1\over4}(x-2)^2-3]\\ \vec{BC}=[x-2,{1\over4}(x-2)^2+1]\end{cases}\So S_{\Delta ABC}(x)={1\over2}\cdot| \begin{vmatrix}x+2& {1\over4}(x-2)^2-3\\ x-2&{1\over4}(x-2)^2+1\end{vmatrix} |=\ldots\)
Pozostaje uporządkować, zrzucić (zgodnie z wzorem) moduł; pochodna, WKIE, WDIE,...
Pozdrawiam
Niech \(C(x,{1\over4}(x-2)^2)\wedge x \in\rr\)
Wtedy
\(\begin{cases}\vec{AC}=[x+2, {1\over4}(x-2)^2-3]\\ \vec{BC}=[x-2,{1\over4}(x-2)^2+1]\end{cases}\So S_{\Delta ABC}(x)={1\over2}\cdot| \begin{vmatrix}x+2& {1\over4}(x-2)^2-3\\ x-2&{1\over4}(x-2)^2+1\end{vmatrix} |=\ldots\)
Pozostaje uporządkować, zrzucić (zgodnie z wzorem) moduł; pochodna, WKIE, WDIE,...
Pozdrawiam
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: Pole trójkąta ABC
Metoda druga:
Na danej paraboli poszukujemy punktu \(C\), który jest najbliżej prostej \(y=-x+1\) zawierającej podstawę \(\overline{AB}\) danego trójkąta! Wystarczy zatem, aby styczna do paraboli w szukanym punkcie była równoległa do tej prostej:
\(\left( {1\over4}(x-2)^2\right)'=(-x+1)'\iff x=0\)
Odp. Najmniejsze pole, równe 0, ma zdegenerowany do odcinka trójkąt o wierzchołku \(C(0,1)\).
Pozdrawiam
PS. Nie oszukałeś nas w równaniu paraboli
Na danej paraboli poszukujemy punktu \(C\), który jest najbliżej prostej \(y=-x+1\) zawierającej podstawę \(\overline{AB}\) danego trójkąta! Wystarczy zatem, aby styczna do paraboli w szukanym punkcie była równoległa do tej prostej:
\(\left( {1\over4}(x-2)^2\right)'=(-x+1)'\iff x=0\)
Odp. Najmniejsze pole, równe 0, ma zdegenerowany do odcinka trójkąt o wierzchołku \(C(0,1)\).
Pozdrawiam
PS. Nie oszukałeś nas w równaniu paraboli