Pomoc w kwestii geometrii analitycznej!

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kibanjain
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 10 sty 2022, 09:04
Płeć:

Pomoc w kwestii geometrii analitycznej!

Post autor: kibanjain » 10 sty 2022, 10:34

Wykazać, że linia łącząca punkty środkowe dwóch nierównoległych boków trapezu \(A(1,5) , B(4,7), C(7,3)\) i \(D(1,-1)\) jest równoległa do równoległych boków i równy połowie długości sumy równoległych boków.

Szczerze, w ogóle tego nie rozumiem i nawet nie wiem, od czego zacząć, ani której z moich wielu formuł z tej jednostki użyć. Czy ktoś może mnie poprowadzić?
Ostatnio zmieniony 10 sty 2022, 12:54 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2508
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 1095 razy
Płeć:

Re: Pomoc w kwestii geometrii analitycznej!

Post autor: kerajs » 10 sty 2022, 11:16

Wpierw zaznacz punkty w układzie współrzędnych, a zobaczysz iż podstawy trapezu to AB i DC.
Potrzebne wzorki:
Współrzędne środka odcinka PQ to \(\left( \frac{x_P+x_Q}{2}, \frac{y_P+y_Q}{2} \right) \) , a długość tego odcinka to \(\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2} \)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1719
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 807 razy

Re: Pomoc w kwestii geometrii analitycznej!

Post autor: Jerry » 10 sty 2022, 13:33

kerajs pisze:
10 sty 2022, 11:16
Wpierw zaznacz punkty w układzie współrzędnych, a zobaczysz iż podstawy trapezu to AB i DC.
i ogólnie:
Niech \(P,\ Q\) będą środkami boków \(\overline{AD},\ \overline {BC}\). Wtedy
\[+\underline{\begin{cases}
\vec{PQ}+\vec{QC}+\vec{CD}+\vec{DP}=\vec{0}\\
\vec{PQ}+\vec{QB}+\vec{BA}+\vec{AP}=\vec{0}\end{cases}}\\
2\cdot\vec{PQ}+\vec{0}+\big(\vec{BA}+\vec{CD}\big)+\vec{0}=\vec{0}\\
\vec{PQ}=-{1\over2}\big(\vec{BA}+\vec{CD}\big)={1\over2}\big(\vec{AB}+\vec{DC}\big)\]
Zatem
\[\begin{cases}\vec{PQ}\parallel\big(\vec{AB}+\vec{DC}\big)\parallel\vec{AB}\parallel\vec{DC}\\
|\vec{PQ}|={1\over2}\cdot|\vec{AB}+\vec{DC}|={1\over2}\cdot\left(|\vec{AB}|+|\vec{DC}|\right)
\end{cases}\]
co kończy wektorowy dowód tw. o linii średniej trapezu

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .