Miary kątów trójkąta ABC.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Januszgolenia
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Miary kątów trójkąta ABC.
Oblicz miary kątów trójkąta ABC, jeśli A(\( \sqrt{3}, \sqrt{3})\), B(\((3, \sqrt{3})\), C(\(3+ \sqrt{3},3+ \sqrt{3})\).
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Miary kątów trójkąta ABC.
Wykorzystując wzór na odległość dwóch punktów łatwo można wyznaczyć:
\( |AB| = 3 - \sqrt{3} \\ |AC| = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} \\ |BC| = \sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3}\)
Z twierdzenia cosinusów liczymy kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(B\):
\( cos(\angle CAB) = \frac{|AC|^2 + |AB|^2 - |BC|^2}{2|AC|AB|} = \frac{18 + 9 - 6\sqrt{3} + 3 - 12}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot (3 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \So \angle( CAB )= 45 ^{\circ} \)
\( cos( \angle ABC ) = \frac{|AB|^2 + |BC|^2 - |AC|^2}{2|AB||BC|} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3 + 12 - 18}{4\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})} = - \frac{1}{2} \So \angle( CBA )= 120 ^{\circ} \)
\( \angle(ABC) = 15 ^{\circ} \)
\( |AB| = 3 - \sqrt{3} \\ |AC| = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} \\ |BC| = \sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3}\)
Z twierdzenia cosinusów liczymy kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(B\):
\( cos(\angle CAB) = \frac{|AC|^2 + |AB|^2 - |BC|^2}{2|AC|AB|} = \frac{18 + 9 - 6\sqrt{3} + 3 - 12}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot (3 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \So \angle( CAB )= 45 ^{\circ} \)
\( cos( \angle ABC ) = \frac{|AB|^2 + |BC|^2 - |AC|^2}{2|AB||BC|} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3 + 12 - 18}{4\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})} = - \frac{1}{2} \So \angle( CBA )= 120 ^{\circ} \)
\( \angle(ABC) = 15 ^{\circ} \)