Równanie okręgu i wierzchołki kwadratu

[MicTyb]

Prosta \(k: x-2y+3=0\) zawiera przekątną kwadratu \(ABCD\) wpisanego w okrąg przechodzący przez punkty \(P=(-1,-3)\) i \(Q=(-3,3)\). Wyznacz równanie tego okręgu i współrzędne wierzchołków kwadratu.

[MicTyb]

Prosta to \(y= \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} \), a środek okręgu \(S=(x,\frac{1}{2}x+ \frac{3}{2})

\) Co dalej??

[kerajs]

Z równości |SP|=|SQ| wyliczasz x, a potem promień r=|SP|.
Wykorzystaj też prostopadłość przekątnych kwadratu.

Inna droga:
Środek okręgu leży na symetralnej odcinka PQ.

[Jerry]

Środek okręgu leży na symetralnej odcinka PQ.

Symetralną odcinka \(\overline{PQ}\) jest, z własności, zbiór punktów równoodległych od jego końców, czyli
\[s:\sqrt{(x-x_P)^2+(y-y_P)^2}=\sqrt{(x-x_Q)^2+(y-y_Q)^2}\]
W naszym zadaniu:
\(s:(x+1)^2+(y+3)^2=(x+3)^2+(y-3)^2\)

Pozdrawiam

[MicTyb]

Równanie okręgu to:\((x+5)^²+(y+1)^²=20\), a jak wyznaczyć wierzchołki tego trójkąta?
Muszę podstawić do równania okręgu \(y= \frac{1}{2} x+ \frac{3}{2} \)?

[kerajs]

Jakiego trójkąta?
Pierwotnie był to kwadrat, którego wierzchołki leżą na przecięciu podanej prostej z obliczonym okręgiem , oraz na przecięciu prostej (prostopadłej do podanej prostej i przechodzącej przez środek okręgu) z obliczonym okręgiem.

[Jerry]

Równanie okręgu to:\((x+5)^²+(y+1)^²=20\), a jak wyznaczyć wierzchołki tego kwadratu?
Muszę podstawić do równania okręgu \(y= \frac{1}{2} x+ \frac{3}{2} \)?

Możesz, wyznaczysz współrzędne przeciwległych wierzchołków kwadraty, kerajs podpowiedział jak wyznaczyć pozostałe, ale...

Sztuczka wektorowa:
Jednym z wektorów rozpinających daną prostą jest \(\vec v=[4,2]\), charakteryzujący się się tym, że \(|\vec v|=2\sqrt5=R\).
Wektorem prostopadłym do niego i równej długości jest np. \(\vec w=[2,-4]\).
Zatem:
\(\vec{SA}=\vec v\), \(\vec{SB}=\vec w\), \(\vec{SC}=-\vec v\) i \(\vec{SD}=-\vec w\)
Czyli:
\(A(-5+4,-1+2),\ B(-5+2,-1-4),\ C(-5-4,-1-2),\ D(-5-2,-1+4)\)

Pozdrawiam