Punkt najbliżej paraboli.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1507
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1585 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Punkt najbliżej paraboli.

Post autor: Januszgolenia » 10 lut 2021, 20:33

Wyznacz współrzędne punktu leżącego na paraboli o równaniu \(y=x^2-2x+1\) położonego najbliżej punktu A(4,0).

Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 15136
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 8972 razy
Płeć:

Re: Punkt najbliżej paraboli.

Post autor: eresh » 10 lut 2021, 22:00

Januszgolenia pisze:
10 lut 2021, 20:33
Wyznacz współrzędne punktu leżącego na paraboli o równaniu \(y=x^2-2x+1\) położonego najbliżej punktu A(4,0).
\(B(b,b^2-2b+1)\\
|AB|=\sqrt{((b-4)^2+(b^2-2b+1)^2}\\
|AB|=\sqrt{(b-4)^2+(b-1)^4}\\
f(b)=(b-4)^2+(b-1)^4\\
f'(b)=2(b-4)+4(b-1)^3\\
f'(b)=0\iff b=2\\
f'(b)>0\iff b>2\\
f'(b)<0\iff b<2\\
f_{min}=f(2)\\
B(2,1)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍

Awatar użytkownika
Jerry
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 843
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 378 razy

Re: Punkt najbliżej paraboli.

Post autor: Jerry » 10 lut 2021, 22:23

Albo:
Ponieważ dla \(y=f(x)=x^2-2x+1\) mamy \(y'=2x-2\), to rodzina normalnych do krzywej, przechodzących przez punkt \((m,f(m)),\ m\in\rr\), opisana jest wzorem
\[n_m\colon y=-{1\over 2m-2}\cdot (x-m)+m^2-2m+1\text{ dla}\ m\ne1\ \ \vee\ \ n_0\colon x=1\text{ dla}\ m=1\]
Wystarczy zatem, aby \(A\in n_m\), rozwiązać równanie:
\( 0=-{1\over 2m-2}\cdot (4-m)+m^2-2m+1\)
Którego jedynym rzeczywistym rozwiązaniem jest \(m=2\)
i odpowiedzieć: \((2,f(2))\)

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .