Wyznaczanie punktu C, by pole trójkąta ABC było najmniejsze

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Pilecki
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 22 sty 2018, 21:15
Podziękowania: 6 razy
Płeć:

Wyznaczanie punktu C, by pole trójkąta ABC było najmniejsze

Post autor: Pilecki » 22 sty 2018, 21:17

Witam, proszę o pomoc w zadaniu z geometrii analitycznej.

Na hiperboli o równaniu y=-3/X , x<0 wyznacz współrzędne takiego punktu C, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze, gdzie A(1,-4); B(5,-2).

Pozdrawiam. :idea:

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13766
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8101 razy
Płeć:

Re: Wyznaczanie punktu C, by pole trójkąta ABC było najmniej

Post autor: eresh » 22 sty 2018, 22:03

Pilecki pisze:Witam, proszę o pomoc w zadaniu z geometrii analitycznej.

Na hiperboli o równaniu y=-3/X , x<0 wyznacz współrzędne takiego punktu C, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze, gdzie A(1,-4); B(5,-2).

Pozdrawiam. :idea:
Pole będzie najmniejsze, gdy wysokość opuszczona na bok AB (odległość punktu C od prostej AB) będzie najkrótsza

prosta AB:
\(x-2y-9=0\)
\(C(c,\frac{-3}{c})\\
h=\frac{|c+\frac{6}{c}-9}|{\sqrt{1+4}}\\
c<0\\
h(c)=\frac{9-c-\frac{6}{c}}{\sqrt{5}}\\
h'(c)=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1+\frac{6}{c^2})\\
h'(c)=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{-c^2+6}{c^2}\\
h_{min}=h(\sqrt{6})\\
C(\sqrt{6},-\frac{3}{\sqrt{6}})\)

Galen
Guru
Guru
Posty: 18221
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9046 razy

Post autor: Galen » 22 sty 2018, 23:28

Możesz policzyć pole trójkąta jako połowa wyznacznika wektorów AB i AC
\(A=(1;-4)\\B=(5;-2)\\C=(x; \frac{-3}{x})\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x<0\\ \vec{AB}=[4;2]\\ \vec{AC}=[x-1;-\frac{3}{x}+4]\\P_{ABC}= \frac{1}{2} \begin{vmatrix}x-1\;\;\;\;4- \frac{3}{x}\\4\;\;\;\;\;\;\;\;\;2 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}(2x-2-16+ \frac{12}{x})=|x+ \frac{6}{x}-9|=P(x)\)
\(P'(x)=1- \frac{6}{x^2}= \frac{x^2-6}{x^2}\)
\(P'(x)=0\;\;\;\;\;gdy\;\;\;\;\;x^2-6=0\;\;\;\;gdy\;\;\;\;x=- \sqrt{6}\;\; lub\;\;\;x= \sqrt{6}\)
W zadaniu ma być x<0,więc mamy \(C=(- \sqrt{6}; \frac{-3}{- \sqrt{6} })=(- \sqrt{6}; \frac{ \sqrt{6} }{2})\)
Tylko w punkcie \(x=- \sqrt{6}\) pochodna zmienia znak z + na -,a to oznacza że funkcja osiąga maksimum...
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

Tulio
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 31
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 8 razy
Płeć:

Re: Wyznaczanie punktu C, by pole trójkąta ABC było najmniejsze

Post autor: Tulio » 16 paź 2019, 20:13

@Galen Bo opuściłeś wartość bezwzględną we wzorze na pole trójkąta.