czas rozpadu

[małepiwko]

Radioaktywny nuklid wykazuje aktywność równą 2880 rozpadów na minutę, a 1,6 godziny później tylko 820 rozpadów na minutę. Jaki jest jego czas połowicznego rozpadu?

[grdv10]

Niech \(T\) będzie czasem połowicznego rozpadu, a \(n\) początkową liczbą jąder. Niech dalej \(n(t)\) będzie liczbą jąder w chwili \(t\), gdzie czas \(t\) liczymy w minutach. Z prawa rozpadu mamy\[n(t)=n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}.\]Z danych zadania mamy dla \(t=1\) równanie\[n\cdot 0.5^{1/T}=n-2880.\]Mamy też (1.6h=96 min)\[n(97)=n(96)-820,\]czyli\[n\cdot 0.5^{97/T}=n\cdot 0.5^{96/T}-820.\]Wstawiamy dla prostoty \(x=0.5^{1/T}\) i mamy dwa równania:\[nx=n-2880,\quad nx^{97}=nx^{96}-820.\]Dlatego\[n(1-x)=2880,\quad nx^{96}(1-x)=820.\]Dlatego\[2880x^{96}=820.\]Stąd już łatwo znajdujemy\[x=\left(\frac{820}{2880}\right)^{1/96}.\]Dalej,\[0.5^{1/T}=\left(\frac{820}{2880}\right)^{1/96}\]Finalnie logarytmujemy logarytmem o podstawie \(0.5\):\[\frac{1}{T}=\log_{0.5}\left(\left(\frac{820}{2880}\right)^{1/96}\right)=\frac{1}{96}\log_{0.5}\left(\frac{820}{2880}\right),\]zatem\[T=\frac{96}{\log_{0.5}\frac{820}{2880}}\approx 52.97\ \text{[min]}.\] Można też dla ciekawości wyliczyć początkową liczbę jąder wynoszącą ok. \(221529.\)