Cząstka porusza się po krzywej...

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
majenka19
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 16
Rejestracja: 01 lut 2021, 15:41
Podziękowania: 6 razy
Płeć:

Cząstka porusza się po krzywej...

Post autor: majenka19 » 02 lut 2021, 21:10

Cząstka porusza się po krzywej y(x) = 10 m [1 + cos(0,1 m−1⋅x)] , od punktu x = 0 m do x = 10π m , pod wpływem stycznej siły o zmiennej wartości F(x) = 10 m⋅sin(0,1 m−1⋅x)]. Jaką pracę wykonała siła?

korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 5644
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 893 razy
Płeć:

Re: Cząstka porusza się po krzywej...

Post autor: korki_fizyka » 02 lut 2021, 21:19

To już dziewiąty twój post, zacznij wreszcie używać LaTeXa https://forum.zadania.info/viewforum.php?f=6
wzór ten sam i umieszczaj swoje posty w odpowiednich działach, te zadanie, podobnie jak poprzednie nie jest na poziomie szkoły średniej.
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl

majenka19
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 16
Rejestracja: 01 lut 2021, 15:41
Podziękowania: 6 razy
Płeć:

Re: Cząstka porusza się po krzywej...

Post autor: majenka19 » 02 lut 2021, 21:35

korki_fizyka pisze:
02 lut 2021, 21:19
To już dziewiąty twój post, zacznij wreszcie używać LaTeXa https://forum.zadania.info/viewforum.php?f=6
wzór ten sam i umieszczaj swoje posty w odpowiednich działach, te zadanie, podobnie jak poprzednie nie jest na poziomie szkoły średniej.
Jestem w technikum i takie zadania zostały nam przydzielone. Zadania wstawiam w takiej formie jakiej zostały mi dostarczone na maila od nauczyciela, nie jestem specjalistką i cudowanie z odpowiednim kodowaniem zadań, których nie rozumiem byłoby bardzo mądrym posunięciem.

Pozdrawiam.

janusz55
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 502
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Otrzymane podziękowania: 154 razy

Re: Cząstka porusza się po krzywej...

Post autor: janusz55 » 03 lut 2021, 00:03

Pan Profesor daje zadania przeznaczone dla studentów.

To zadanie rozwiązujemy, posługując się metodami rachunku różniczkowego i całkowego.

Praca \( W \) w polu sił \( \vec{F} = [F_{x}(x,y) \vec{i}; \ \ F_{y}(x,y) \vec{j} ], \) po krzywoliniowym torze o równaniu \( y(x) \) jest równa wartości całki krzywoliniowej- skierowanej

\( W = \int_{a}^{b} dW = \int_{a}^{b} [F_{x}(x, y(x)) + F_{y}(x, y(x))]\cdot y'(x) dx \ \ (*)\)

Z treści zadania wynika, że współrzędne początkowego i końcowego punktu toru, po którym porusza się cząstka wynoszą odpowiednio:

\( A = [0 (m), \ \ 20(m)] , \ \ B = [10\pi (m), \ \ 0 (m)].\)

Pole sił dane jest przez wektor:

\( \vec{F} = [F_{x}(x,y)\vec{i}; \ \ F_{y}(x,y) \vec{j} ]= [10(N) \sin(0,1m^{-1}x) \vec{i}, \ \ 0 (N) \vec{j}] \)

Równanie toru przemieszczania się cząstki określone jest wzorem:

\( y(x) = 10 (m) [ 1 +\cos(0,1m^{-1}x)] \)

Obliczamy różniczkę toru

\( dy = y'(x) dx = = -10 (m) \cdot \frac{1}{10} \sin(0,1m^{-1}x) dx = -\sin( 0,1m^{-1}x) dx. \)

Podstawiamy dane do całki \( (*)\)

\( W = \int_{0}^{10\pi} [10(N) \sin(0,1m^{-1}x)\cdot \vec{i}, \ \ 0 (N) \vec{j}]\cdot [-\sin( 0,1m^{-1}x)]dx = -10(N)\int_{0}^{10\pi} \sin^2(0,1m^{-1}x) dx. \)

Pozostała do obliczenia całka oznaczona z kwadratu sinusa .

W tym celu posłużymy się tożsamością trygonometryczną:

\( \sin^2(\alpha) = \frac{1}{2}[1 -\cos(2\alpha)].\)

\( W = -10 (N)\int_{0}^{10\pi} \sin^2(0,1m^{-1}x) dx= \frac{1}{2}(-10(N)) \int_{0}^{10\pi} [1- \cos(2\cdot 0,1m^{-1})]dx = \)

\( = -5(N) \left[ \int_{0}^{10\pi} dx - \int\cos(0,2m^{-1}x)dx\right] = -5(N) \left[ x|_{0}^{10\pi} - 5\sin(0.2m^{-1}x)|_{0}^{10\pi} \right]= \)

\( = -5(N) [ 10\pi - 0 - 5\sin(2\pi) + \sin(0)] = -5(N)[ 10\pi -0 -0 +0 ] = -50\pi \ \ J. \)