Zadanie- bryła sztywna.

[koxownik]

Witam,
Próbowałem rozwiązać zadanie, ale niestety nie udało mi się go rozwiązać. Czy ktoś mógłby pomóc?
Dzieci usiadły na karuzeli(patrz rysunek) po dwoje na każdej ławeczce, tak że masa dwójki dzieci z ławeczką wyniosła M=50 kg. Każde dziecko otrzymało piłkę lekarską o masie m=2kg. Instruktor umocował na osi obrotu kosz, a następnie wprawił karuzelę w ruch obrotowy z prędkością kątową równą 0,4 rad/s. Jaka będzie częstotliwość końcowa karuzeli, jeśli na sygnał gwizdka dzieci wrzucą piłki do kosza?Przyjmij jednakową odległość dzieci na ławeczkach, a odległość piłek od osi obrotu równą promieniowi karuzeli R=1,2m. Moment bezwładności karuzeli I=40 kgm2

[korki_fizyka]

Skorzystaj z ZZMomentu Pedu: \(L = I\omega = constans\) ,
po wrzuceniu piłek do kosza zmniejszy się moment bezwładności układu więc zwiększy się prędkość kątowa karuzeli. podstaw : \(\omega = 2\pi f \)

[janusz55]

Oznaczenia

\( I_{2d1} \) - moment bezwładności pary dzieci przed wrzuceniem piłek do kosza

\( I_{2d2} \) - moment bezwładności pary dzieci po wrzuceniu piłek do kosza

\( I_{p1} \) - moment bezwładności piłki przed wrzuceniem do kosza

\( I_{p2} \) - moment bezwładności piłki po wrzuceniu do kosza

Przed wrzuceniem piłek do kosza - sumaryczny moment bezwładności układu "karuzela-dzieci-piłki "

\( I_{1} = I + 3I_{2d1} + 6 I_{p1} \)

Po wrzuceniu piłek do kosza- sumaryczny moment bezwładności układu "karuzela-dzieci-piłki "

\( I_{2} = I + 3I_{2d2}+ 6I_{p2} \)

Z zasady zachowania momentu pędu

\( L_{1} = L_{2}, \)

gdzie

\( L_{1} = I_{1} \cdot \omega_{1} \)

\( L_{2} = I_{2}\cdot \omega_{2} \)

Stąd

\( ( I + 3I_{2d1} + 6 I_{p1})\cdot \omega_{1} = (I + 3I_{2d2}+ 6I_{p2}) \cdot \omega_{2} \)

\( \omega_{2} = \frac{( I + 3I_{2d1} + 6 I_{p1})}{ (I + 3I_{2d2}+ 6I_{p2})} \omega_{1}\)

Proszę zauważyć, że moment bezwładności piłki po wrzuceniu do kosza jest równy zeru (bo odległość piłki od osi obrotu karuzeli \( R = 0\)).

\( \omega_{2} = \frac{I + 3MR^2 +6m\cdot R^2}{I + 3MR^2 + 6\cdot 0} \omega_{1}. \)

Wykorzystując zależność między prędkością kątową a częstotliwością obrotu karuzeli

\( \omega_{2} = 2\pi \cdot f_{2}, \)

możemy napisać

\( 2\pi \cdot f_{2} = \frac{I + 3MR^2 +6m\cdot R^2}{I + 3MR^2 + 6\cdot 0} \omega_{1} \)

\( f_{2} = \frac{1}{2\pi}\frac{I + 3MR^2 +6m\cdot R^2}{I + 3MR^2 + 6\cdot 0} \omega_{1} \)

\( f_{2} = \frac{1}{2\cdot 3,14} \frac{40 (kg\cdot m^2) +3\cdot 50 (kg)\cdot (1,2)^2(m^2)+6\cdot 2(kg)\cdot (1,2)^2 (m^2)}{40 (kg m^2)+ 3\cdot 50 (kg)\cdot (1,2)^2(m^2)}\cdot 0,4 \left(\frac{rad}{s}\right) \approx 0,068\frac{1}{s}. \)