cząstka w studni potencjału

[poetaopole]

Funkcje falowe dla cząstki w jednowymiarowej studni potencjału o długości \(l\) mają postać: \(\psi _{n} (x)= \sqrt{ \frac{2}{l} } sin\left( \frac{n \pi x}{l} \right) \), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną. Proszę pokazać, że funkcje te są ortonormalne, tj. spełniają warunek \( \int_{0}^{1}\psi _{n}\psi _{m} dx = 1\) dla \(m=n\) lub \(0\) dla \(m \neq n\). Niestety, nie wiem, jak w latechu pisze się psi.

[korki_fizyka]

Swoje zadania umieszczasz w złym dziale, to nie jest poziom szkoły średniej.

[poetaopole]

Jezu! I za karę nic? ale dzięki choć za poprawę tego psi

[kerajs]

Clou tego zadania to błędna granica górna całkowania. Jak zmienisz 1 na l to bez problemu uzyskasz wskazane wyniki.

Hint:
\(\sin x \sin y= \frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos(x+y)) \)

[poetaopole]

i to jest prawda Kerajs, górna granica całkowania rzeczywiście miała być l, a nie 1 (powiedzmy literówka okularnika). Pomożesz mi z tym rozwiązaniem?

[kerajs]

\( \int_{0}^{l}\sqrt{ \frac{2}{l} } \sin\left( \frac{n \pi x}{l} \right) \sqrt{ \frac{2}{l} } \sin\left( \frac{m \pi x}{l} \right) dx = \frac{2}{l} \int_{0}^{l}\sin \frac{n \pi x}{l} \sin \frac{m \pi x}{l} dx=... \)
a) dla \(n=m\) :
\(...= \frac{2}{l} \int_{0}^{l}\sin^2 \frac{n \pi x}{l} dx=...\)
a to pewnie umiesz dokończyć

b) dla \(n \neq m\) :
\(...= \frac{1}{l} \int_{0}^{l}(\cos \frac{(n-m) \pi x}{l} - \cos \frac{(n+m) \pi x}{l} ) dx=...
= \frac{1}{l}( \frac{l}{(n-m) \pi } \sin \frac{(n-m) \pi x}{l} - \frac{l}{(n+m) \pi } \sin \frac{(n+m) \pi x}{l})\bigg|_0^l= \\ =\frac{1}{(n-m) \pi }\sin (n-m) \pi -\frac{1}{(n+m) \pi }\sin (n+m) \pi \)
a tu zastanów się jaki jest wynik gdy n i m mają tę samą parzystość (oba parzyste lub oba nieparzyste) , a jaki przy różnej parzystości.

[poetaopole]

Dalej to juz matma - dam radę Dziekuję

[Jerry]

Dziękuję - kciuk w górę!