Wahadło Foulcata

[Ehhhhrazdwatrzy]

Cześć! Ostatnio przerabiałem stare arkusze maturalne i trafiłem na takie zadanie
Zadanie 1. Wahadło Foucaulta (12 pkt)
Wahadło Foucaulta to wahadło, które ma możliwość drgań w dowolnej płaszczyźnie
pionowej. Nazwa wahadła upamiętnia jego wynalazcę, Jeana Bernarda Léona Foucaulta,
który 8 stycznia 1851 roku zawiesił ciężarek o masie 28 kilogramów na linie o długości 67 m
w Panteonie w Paryżu. Obserwując poruszające się wahadło, zauważył, że płaszczyzna drgań
wahadła obracała się względem osi prostopadłej do powierzchni Ziemi.
Dokładna analiza zjawiska pozwala na wyrażenie wartości prędkości kątowej, z jaką obraca
się płaszczyzna drgań wzorem (1):
(Tutaj niewiele znaczący dla mojego pytania wzór)
ωobr – wartość prędkości kątowej obrotu płaszczyzny drgań
wahadła,
ωZ – wartość prędkości kątowej obrotu Ziemi (ωZ = 15°/h),
A – amplituda drgań wahadła,
l – długość wahadła,
φ – szerokość geograficzna, na której umieszczono wahadło.
Gdy amplituda drgań jest znacznie mniejsza od długości wahadła wzór ten przyjmuje
postać (2):
sin ωobr Z =ω ϕ .
Aby zaobserwować zmianę płaszczyzny drgań, wymagany jest długi czas drgań (co najmniej
kilka godzin). Wskazana jest również duża masa ciężarka. Wahadło działające na University
of Colorado w USA ma długość 40 m i masę ciężarka 300 kg
A problematyczne zadanie brzmiało:
Wyjaśnij, dlaczego dla długotrwałego działania wahadła konieczna jest duża długość wahadła
i duża masa ciężarka.

I w rozwiązaniach było takie uzasadnienie:
-Im dłuższe wahadło tym dłuższy okres drgań a co za tym idzie wolniejszy ruch i mniejszy efekt działania sił oporu zależnych od prędkości wahadła
To że okres drgań będzie dłuższy nie pozostawia wątpliwości, lecz to jaka jest prędkość danego wahadła zależy też od drogi jaką jest w stanie w tym czasie przebyć to wahadło. Kulki na dłuższych wahadłach potrzebują dłuższego czasu do jednego wahnięcia ale przebywają też dłuższą drogę . Krótsze natomiast potrzebują krótkiego czasu ale przebywają krótszą drogę. Próbowałem przeanalizować to równaniami. niech v oznacza średnią szybkość liniową (od której to zależą wspomniane opory)
v=ωl
T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } i 2 \pi =ωT więc ω= \sqrt{ \frac{g}{l} }
z tego wynika że v= \sqrt{gl}
więc że średnia szybkość liniowa jest proporcjonalna do pierwiastka z długości wahadła co z kolei jest sprzeczne z uzasadnieniem zawartym w arkuszu. Proszę wesołych ludzi o znalezienie błędu w toku rozumowania. Pozdrawiam!

[Ehhhhrazdwatrzy]

Poprawiam formatowanie żeby było łatwiej to oglądać
\(v=ωl\) i \(
T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }\) i \(2 \pi =ωT\) więc \(ω= \sqrt{ \frac{g}{l} }
\)Z tego wynika że \(v= \sqrt{gl}\)

[korki_fizyka]

Ja jestem smutny ale zgadzam się z podanym uzasadnieniem nawet nie czytając go. To nie jest wahadło matematyczne ale niech ci będzie, ale na pewno nie jest to ruch po okręgu tylko jego niewielki wycinek więc im dłuższe wahadło tym wycinek jest mniejszy itd.

[korki_fizyka]

PS> popraw nazwisko w tytule jeśli ci się jeszcze to uda.

[Ehhhhrazdwatrzy]

Nie dałem rady wyedytować wiadomości więc tytułu raczej tym bardziej się nie uda. Wiem że to żaden dowód ale tak 'na oko' jednak ten wycinek z dłuższym 'sznurkiem' wydaje mi się większy: https://pics.tinypic.pl/i/00998/e6rr96orblh7.png

[Ehhhhrazdwatrzy]

Myślałem nad energią w takim układzie i doszedłem do tego samego wniosku dot. proporcjonalności prędkości maksymalnej takiego wahadła z jego długością. https://zapodaj.net/f650db1477cab.jpg.html . Moje życie to najwidoczniej jeden wielki błąd fizyczny

[Ehhhhrazdwatrzy]

I jeszcze korzystając z podobieństwa figur na przykładzie wahadła 2 razy dłuższego i 2 razy krótszego:
https://zapodaj.net/fc25b1450b045.png.html ponownie wyszła szybkość lin. proporcjonalna do pierwiastka z długości wahadła

[korki_fizyka]

W ruchu harmonicznym należałoby rozwiązać r-nie różniczkowe dla ruchu tłumionego \(F_{op}\) ~ \(v\) ale czy nie jest tak, że \(v_{sr} = \frac{4A}{T} = \frac{2A}{\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}\) ~\( \frac{A}{\sqrt{L}}\)? Amplituda w miarę wzrostu długości L musi być coraz mniejsza i coraz mniejsze są kąty wychylenia, co powoduje coraz mniejszą szybkość średnią i lepsze przybliżenie tego ruchu do modelu wahadła matematycznego.