Grawitacja, kinematyka, dynamika - weryfikacja rozwiązań

[Greex]

Witam! Proszę o weryfikację rozwiązań kilku zadań:

1. W jakiej odległości x od środka planety o promieniu R i masie M znajdowało się początkowo ciało o masie m, jeśli spadając uderzyło w powierzchnię planety z prędkością \(\sqrt[3]{ \frac{GM}{4R} }\)?
2. Klocek po zsunięciu się z równi o wysokości h osiągnął prędkość końcową \(v_k = \sqrt{0,3gh}\). Jaką pracę W trzeba wykonać, by wciągnąć klocek w górę tej równi na wysokość h? Na równi działa stała siła tarcia
3. Na jakiej wysokości H należy umieścić środek masy obręczy, aby po stoczeniu się z tej wysokości w dół po równi pochyłej środek masy obręczy uzyskał prędkość końcową równą \(v_k = \sqrt{2gh}\)
4. Klocek o masie m wsuwa się pod górę równi pod wpływem stałej siły tarcia z prędkością początkową \(v_0 = \sqrt{2gh}\) osiągając maksymalną wysokość h/4. Jaka powinna być prędkość początkowa \(u_0\) tego klocka, aby osiągnął on wysokość h?
5. Klocek o masie m pcha przed sobą klocek o masie m, a wzajemny nacisk klocków wynosi N. Wyznaczyć zewnętrzną siłę F przyłożoną do cięższego klocka.

ZAD 1
----------------------------------------------------------------------------------------------
\(E_0 = \frac{-GMm}{x}\)
\(E_k = \frac{-GMm}{R} + \frac{mv^2}{2}\)

Podstawiam znaną prędkość końcową i mam:
\(E_k = \frac{-GMm}{R} + \frac{GMm}{8R} = \frac{-7GMm}{8R}\)

Przyrównuje:

\(\frac{-GMm}{x} = \frac{-7GMm}{8R}\)

I z tego równania wyliczam x = \(\frac{8}{7}\) R

ZAD 2
----------------------------------------------------------------------------------------------
Równanie dla zsunięcia klocka z którego wyliczam pracę wykonaną przeciw sile tarcia:

\(mgh = \frac{mv^2}{2} + W_t\)

Po podstawieniu znanej prędkości końcowej i obliczeniach mamy:

\(W_t = \frac{17}{20}\) mgh

No i teraz zastanawiam się - czy szukana przez nas energia to nie jest po prostu \(E_p + W_t\) czyli \(\frac{37}{20}\) mgh?

ZAD 3
----------------------------------------------------------------------------------------------
Tworzę równanie energii, z którego wyliczam duże H - czy jest to prawidłowy sposób rozwiązania tego zadania?

\(mgH = \frac{mv^2}{} + \frac{Iw^2}{2}\)
\(w = \frac{v}{r}
I = mr^2\)

Po podstawieniach mamy:

\(mgH = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2}\)

Podstawiam v i mam:

mgH = mgh + mgh
mgH = 2mgh
H = 2h

ZAD 4
----------------------------------------------------------------------------------------------
\(\frac{mV_0^2}{2} = mgh_1 + W_1\)
\(\frac{mu_0^2}{2} = mgh_2 + W_2\)

\(h_1 = 0,25h\)
\(h_2 = h\)

\(W_2 = 4W_1\) - w ten sposób robiliśmy podobne zadania na lekcji, że proporcjonalnie z wysokością rośnie też wartość pracy

Po podstawieniach mamy

\(\frac{2mgh}{2} = \frac{mgh}{4} + W_1\)

Stąd wyliczam \(W_1 = \frac{3}{4} mgh\)

Podstawiam do drugiego równania i obliczam szukaną prędkość:

\(\frac{mu_0^2}{2} = mgh + 3mgh\)
\(u_0 = \sqrt{0,8gh}\)


ZAD 5
----------------------------------------------------------------------------------------------
Równanie nacisku:

N = ma

Równanie siły układu:

3ma = F-N

Podstawiam:

3ma = F - ma
F = 4ma
F = 4N

Z góry dziękuję za pomoc!