potencjał pola grawitcyjnego

[ak95]

4. Planeta porusza się po elipsie wokół nieruchomego Słońca. Największa odległość planety od Słońca wynosi R1 a najmniejsza R2. Jaki jest potencjał pola grawitacyjnego Słońca w punktach R1 i R2? Ile wynosi moment pędu planety? Proszę wykonać rysunek. Masę planety, masę Słońca i stałą grawitacji należy przyjąć za dane. Proszę o pomoc.

[Panko]

\(M\) ---masa Słońca, \(m\) --masa planety
\(v_1,v_2\) ---odpowiednie prędkości w tych punktach
Energie całkowita planety w tych dwóch punktach ( aphelium , peryhelium)są sobie jest równe
\(\frac{mv_1^2}{2} -\frac{GMm}{R_1}\)\(= \frac{mv_2^2}{2} -\frac{GMm}{R_2}\)
stąd \(v_1^2-v_2^2= 2 \cdot GM \cdot ( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} )\)

Oraz moment pędu planety jest zachowany czyli \(mv_1R_1=mv_2R_2\)
( w tych punktach , aphelium i peryhelium kąt pomiędzy wektorami prędkości i wektorem wodzącym to kąt prosty , czyli w iloczynie wektorowym jest \(\sin 90^ \circ =1\) )

Jest \(v_2=v_1 \cdot \frac{R_1}{R_2}\)

Z tego układu jest \(v_1^2-v_2^2 = v_1^2( 1- (\frac{R_1}{R_2} )^2)\)=\(2 \cdot GM \cdot ( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} )\)

stąd \(v_1= \sqrt{ \frac{2GM \cdot R_2}{ R_1 \cdot (R_2+R_1)}}\)

czyli moment pędu planety( wartość) =\(m \sqrt{ \frac{2GM \cdot R_2}{ R_1 \cdot (R_2+R_1)}} \cdot R_1\)

[ak95]

a ta prędkość V1 jest na pewno dobrze wyliczona? mi wychodzi inaczej jak przekształcam

[ak95]

a potenncjal licze z V=-GM/R?