Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej

[kaskada]

1) W celu doświadczalnego wyznaczenia momentu bezwładności tzw. wahadła Oberbecka (przedstawionego na rysunku) nawinięto na walec cienką nić, na końcu której zaczepiono obciążnik o masie \(m = 0,2 kg\). Przed rozpoczęciem doświadczenia przytrzymano obciążnik. Następnie puszczono go tak, aby rozpoczął ruch z szybkością początkową \(v_0 = 0\) i zmierzono czas, w którym obciążnik przebył drogę \(h = 1 m\). Uzyskano wynik \(t = 15,5 s\). Promień walca, na który nawinięto nić, to \(R = 2 cm\).
a) Wyprowadź wzór, na podstawie którego można obliczyć moment bezwładności wahadła Oberbecka, korzystając z wyniku doświadczenia. Pomiń wszystkie opory.
b) Oblicz moment bezwładności wahadła Oberbecka, podstawiając dane liczbowe do wyprowadzonego wzoru. Przyjmij, że \(g = 9,81 \frac{m}{s^2}\).
c) Zakładając, że niepewność pomiaru czasu \(\Delta t = 0,5 s\) (a inne wielkości są zmierzone na tyle dokładnie, że ich niepewności można pominąć), oblicz (metodą najmniej korzystnego przypadku) minimalną i maksymalną wartość liczbową momentu bezwładności wahadła praz niepewność bezwzględną \(\Delta I\) i względną \(\Delta I/I\), z którą ta wielkość została wyznaczona.

6.20..PNG (13.79 KiB) Przejrzano 29528 razy

2) Kawałek cienkościennej rury o masie \(0,1 kg\) stacza się bez poślizgu z równi pochyłej, nachylonej do poziomu pod kątem \(20^ \circ\).
a) Oblicz wartość przyspieszenia ruchu postępowego rury.
b) Oblicz wartość siły tarcia statycznego, którą powierzchnia równi działa na rurę. Znajdź warunek, który musi spełniać współczynnik tarcia statycznego, aby rura toczyła się bez poślizgu.

3) Na dwóch równoległych poziomych deskach położono symetrycznie walec o masie \(1 kg\). Na środek walca nawinięto cienką nieważką linkę, na koniec której działa siła \(F\) równa jednej czwartej ciężaru walca, wskutek czego toczy się on po deskach ruchem jednostajnie przyspieszonym. Zakładamy, że nie ma poślizgu.
a) Biorąc pod uwagę fakt, że oś walca porusza się ruchem przyspieszonym, rozstrzygnij, w którą stronę są zwrócone siły tarcia statycznego, którymi deski działają na walec.
b) Oblicz wartość przyspieszenia osi walca dwoma sposobami:
- traktując toczenie się walca jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego względem osi symetrii,
- traktując toczenie się walca jako wyłącznie ruch obrotowy względem chwilowej osi obrotu O.
c) Znajdź warunek, który musi spełniać współczynnik tarcia statycznego walca o deski, aby ruch odbywał się bez poślizgu.
d) Odpowiedz na pytanie: Czy wartość przyspieszenia końca linki, na który działa siła, jest równa wartości przyspieszenia, z którym porusza się środek walca? Uzasadnij odpowiedź.

6.26..PNG (12.36 KiB) Przejrzano 29528 razy

4) Rozwiąż części b) i c) poprzedniego zadania, przyjmując, że zamiast ciągnąć koniec linki siłą \(F\) o wartość \(\frac{1}{4}mg\), wieszamy na jej końcu obciążnik o ciężarze równym jednej czwartej ciężaru walca. Oblicz wartość siły naciągu linki. Nie uwzględniaj ruchu obciążnika w kierunku poziomym.

5) Sztywny układ dwóch prętów, każdy o masie \(0,2 kg\) i o długości \(16 cm\), może się obracać wokół osi O. Kulka z plasteliny o masie \(2 dag\) uderza z szybkością \(10 m/s\) w pionowy pręt w odległości \(4 cm\) od osi i przykleja się do niego. Rozmiary kulki pomijamy.
a) Oblicz wartość początkowej prędkości kątem układu prętów z przyklejoną kulką.
Wskazówka: Punkt materialny poruszający się po linii prostej ze stałą szybkością ma względem punktu P stały moment pędu o wartości równej \(mvR\), gdzie m jest masą punktu materialnego, a R - odległością punktu P od prostej.
b) Oblicz stratę energii kinetycznej układu podczas zderzenia. Jaka to część energii początkowej? Na co została zużyta ta energia?

6.34..PNG (11.62 KiB) Przejrzano 29528 razy

[schrodingers]

Zad. 1
Zaczynam od wyprowadzenia wzoru na a ze wzoru na drogę:
\(s=\frac{at^2}{2}\) ; \(s=h\)
\(a=\frac{2h}{t^2}\)
\(a=εr\) -> \(ε=\frac{a}{r}\) ; \(ε=\frac{2h}{t^2r}\)

Przyrównuję dwa wzoru na moment siły \(ε=\frac{M}{I}\) -> \(M=\frac{ε}{I}\) oraz \(M=Fr\), a więc \(Jε=Nr\)

Z równania ruchu dla ciężarka \(ma=Fc-N\) wyprowadzam wzór na siłę napięcia nici \(N=m(g-a)\) i podstawiam do równania \(Jε=Nr\). Podstawiając także wzory na a i ε otrzymuję równanie \(I=mr^2(\frac{gt^2}{2h}\)-1) \(kgm^2\)

Podstawiam \(I=0,2*0,02^2(\frac{9,81*15,5^2}{2*1}\)-1) \(kgm^2\) ; \(I \approx 0,0942 kgm^2\)
\(Imin\) i \(Imax\) liczę z tego samego równania podstawiając pod \(t\) kolejno \(tmin=15 s\) i \(tmax=16 s\)
\(\Delta I=\frac{Imax-Imin}{2}\) ; \(\Delta I=0,0061kgm^2\)
A \(\frac{\Delta I}{I} *100\% \approx 6,47 \%\)

[schrodingers]

Zad 2.
Zaczynam od trzech równań:
\(ma=Fs-T\) (różnica siły staczania i siły tarcia)
\(Iε=rT\) (dwa wzory na moment siły z dwóch wzorów \(ε= \frac{M}{I}\) oraz \(M=Fr\) )
\(ε= \frac{a}{r}\)
Z funkcji trygonometrycznych wyprowadzam wzór na \(Fs\) ; \(\frac{Fs}{Fc} = \sin \alpha\) ; \(Fs=mg* \sin \alpha\)
Do pierwszego równania podstawiam \(I=mr^2\) wzór na moment bezwładności rurki cienkościennej , \(T= \frac{Iε}{r}\) oraz \(ε= \frac{a}{r}\) i przekształcając otrzymuję wzór \(a= \frac{g* \sin \alpha }{2}\), odczytuję wartość \(\sin\) i otrzymuję \(a=1,71 \frac{m}{s^2}\)
Tarcie obliczam ze wzoru \(T= \frac{Iε}{r}\), a minimalny współczynnik tarcia z przekształcenia \(T=mg* \cos \alpha *f\) otrzymując kolejno \(T=0,171 N\) i \(f \ge 0,182\)

[schrodingers]

Zad 5.
Dane: \(m1=0,2kg\) , \(r1=0,16m\) , \(m2=0,02kg\) , \(r2=0,04m\)
a) \(L1=m2*v*r2\)
\(L2= 2* \frac{1}{12} *m1*r1^2*ω2+m2*v2*r2\)
\(L1=L2\) ; \(v=ωr\) a więc \(m2*v*r2 = 2* \frac{1}{12} *m1*r1^2*ω2+m2*ω2*r2^2\)
Wyprowadzam wzór na ω i podstawiam wartości \(ω2= \frac{m2*v*r2}{1/6*m*r1^2+m2*r2^2}\) , \(ω2 \approx 9,04 \frac{rad}{s}\)

b)\(Ek1= \frac{m2*v^2}{2}\) ; \(Ek1=1J\)
\(Ek2= \frac{1}{12}*m1*r1^2*ω2^2\) ; \(Ek2 \approx 0,035J\)
\(|\Delta Ek|=Ek1-Ek2\\) ; \(|\Delta Ek| \approx 0,965 J\) ; \(\frac{| \Delta Ek|}{Ek} \approx 96,5 \% \\)

[Robert Rydwelski]

odp. 3 a) zgodnie z kierunkiem ruchu


3 b) 1.

Moment bezwładności walca \(I_{walca} = \frac{1}{2} m R^2\)
przyspieszenie kątowe \(\varepsilon = \frac{M}{I}\)

Moment siły związany z siłą \(F\) : \(M_F = F \cdot R\)
Moment siły związany z tarciem \(T\) : \(M_T = F \cdot T\)
Wypadkowy moment siły : \(M_W = F \cdot R - F \cdot T = R \left( F - T\right)\)
\(\varepsilon = \frac{M_W}{I}= \frac{R \left( F - T\right)}{ \frac{1}{2}m*R^2 }\)

\(a= \varepsilon R= \frac{R \left( F - T\right)}{ \frac{1}{2}m*R^2 }R= \frac{2 \left( F-T\right)}{m}\)

i na tym etapie się zatrzymałem ... jak policzyć T ?



ku pamięci wpiszę podpunkt 2 punktu 3 b)

\(\varepsilon = \frac{M}{I} = \frac{FR}{ \frac{1}{2}mR^2+mR^2 }= \frac{FR}{ \frac{3}{2}mR^2}= \frac{2F}{3mR}\)

\(a= \varepsilon R= \frac{2F}{3mR}R= \frac{2F}{3m} = 1.667 \frac{m}{s^2}\)

[korki_fizyka]

\(T = \mu F_{nacisku}\), gdzie \(F_{nacisku} = Q +F\)

[Robert Rydwelski]

\(T = \mu F_{nacisku}\), gdzie \(F_{nacisku} = Q +F\)

Dzięki za odpowiedź ale wprowadziłeś nowa zmienną \(\mu\)

[korki_fizyka]

Nie nową tylko tą, która masz wyznaczyć

[Robert Rydwelski]

Nie nową tylko tą, która masz wyznaczyć

tylko, że mam ją wyznaczyć w kolejnym punkcie a w tym próbuję wyznaczyć \(a\) ale nie znam ani \(T\) ani \(μ\)
W sieci znalazłem takie rozwiązanie ale nie wiem jak kolo do tego doszedł, że \(T= \frac{F}{3}\)
http://matematyka.pisz.pl/forum/327922.html