Równania ruchu, szybkość i ciśnienie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
kaskada
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 143
Rejestracja: 21 lut 2013, 10:27
Podziękowania: 313 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Równania ruchu, szybkość i ciśnienie

Post autor: kaskada »

1) Pierwsze ciało wyrzucono z powierzchni ziemi pionowo w górę z prędkością o wartości \(20 \frac{m}{s}\). Równocześnie z wysokości H, na którą to ciało się wzniesie, rzucono drugie ciało z prędkością o takiej samej wartości, zwróconą pionowo w dół. Rozmiary ciał pomijamy.
a) Napisz równania ruchu dla obu ciał: \(y_1(t)\), \(y_2(t)\), \(y_y_1(t)\), \(y_y_2(t)\); oś y jest zwrócona w górę, a jej punkt zerowy znajduje się na powierzchni ziemi.
Na podstawie napisanych równać oblicz:
b) czas, po którym spotkają się te ciała;
c) wysokość, na której to nastąpi;
d) szybkość względną ciał tuż przed spotkaniem.
Powinno wyjść: b) \(t = 0,5 s\); c) \(y = 8,75 m\); d) \(V_w_z_g_l = 2v_0 = 40 \frac{m}{s}\)


2) Na lince, która zrywa się pod działaniem siły o wartości 50 N, zawieszono kulę o masie 3 kg. Zakładamy, że linka jest mało rozciągliwa i pomijamy jej masę. Oblicz:
a) O jaki maksymalny kąt można odchylić linkę z kulą od pionu, aby nie zerwała się podczas przejścia przez położenie równowagi?
a) O ile wartość siły naprężającej linkę podczas mijania położenia równowagi przekroczyłaby dopuszczalną wartość, gdyby linkę odchylono od pionu o kąt \(90^ \circ\)
Powinno wyjść: a) \(\alpha _{max} = 49,1^ \circ\); b) \(\Delta N = 40 N\)


3) Narciarz o masie 42 kg zjechał "na krechę" z górki o wysokości 20 m i kącie nachylenia \(15^ \circ\), po czym uderzył w śnieżną zaspę znajdującą się w odległości 75 metrów od podnóża górki. Współczynnik tarcia nart o śnieg wynosi 0,12. Oblicz, z jaką szybkością narciarz uderzył w zaspę. W obliczeniach pomiń opór powietrza. Powinno wyjść: v w przybliżeniu 1,6 m/s


4) Na lewej szalce wagi laboratoryjnej postawiono naczynie z wodą, a na prawej położono odważniki o takiej masie, że waga jest w równowadze. Następnie całkowicie zanurzono w wodzie metalową sztabkę o wymiarach 1 x 2 x 4 cm, która jest zawieszona na nitce trzymanej w ręce. Sztabka nie dotyka szalki ani ścianek naczynia.
a) Rozstrzygnij, w którą stronę wychyli się wskazówka wagi. Uzasadnij odpowiedź.
b) Oblicz, o ile należałoby zmienić masę odważników, aby przywrócić równowagę wagi.


5) Na wadze zamiast lewej szalki powieszono wiaderko wypełnione po brzegi wodą, a na prawej szalce położono odważniki o takiej masie, że waga pozostawała w równowadze. Następnie do wiaderka wrzucono stalową śrubę o masie 3 g; nadmiar wody wylał się, a pozostała woda znowu sięgała po brzegi wiaderka.
a) Rozstrzygnij, czy równowaga wagi została zachwiana, a jeśli tak, to oblicz, o ile należałoby zmienić masę odważników, aby przywrócić równowagę.
b) Odpowiedz na to samo pytanie w przypadku, gdy do wiaderka wrzucono kawałek szkła o takiej samej masie.
ef39
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 501
Rejestracja: 15 sie 2012, 21:03
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 275 razy

Re: Równania ruchu, szybkość i ciśnienie

Post autor: ef39 »

1)
\(H= \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(20 \frac{m}{s} )^2}{2 \cdot 10 \frac{m}{s^2} }=20m \\<br />y_1(t)=v_0t- \frac{gt^2}{2}=20t-5t^2\\<br />y_2(t)=v_0t+ \frac{gt^2}{2}=20t+5t^2\)
Jeżeli dobrze rozumiem to \(y_{y}(t)\) oznacza współrzędną położenia
\(y_{y_1}(t)=y_1(t)=20t-5t^2\\<br />y_{y_2}(t)=H-(20t+5t^2)=-5t^2-20t+20\)
Dla takich współczynników w równaniach: t[s] oraz y[m] !!

Czas, po którym spotkają się te ciała:
\((20t-5t^2)+(20t+5t^2)=20\\<br />t=0,5s\)
Wysokość, na której to nastąpi
\(h=20 \cdot 0,5- 5 \cdot (0,5)^2=8,75m\)
Szybkość względna ciał tuż przed spotkaniem
\(v_{wz}=(v_0-gt)+(v_0+gt)=2v_0\)
ef39
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 501
Rejestracja: 15 sie 2012, 21:03
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 275 razy

Re: Równania ruchu, szybkość i ciśnienie

Post autor: ef39 »

2
\(\Delta h=l-lcos \alpha\) - wysokość na jaką podniesie się kulka po odchyleniu o kąt \(\alpha\)
Kulka odchylona od pionu posiada energię potencjalną która zamieni się
w energię kinetyczną, w położeniu równowagi
\(mgh= \frac{mv^2}{2} \\
mgl(1-cos \alpha )= \frac{mv^2}{2}\\
v^2=2gl(1-cos \alpha )\)


w położeniu równowagi kulka oddziałuje na linkę siłą równą sumie siły ciężkości oraz siły odśrodkowej bezwładności, aby linka nie zerwała się suma tych sił musi być mniejsza niż N=50N
\(\frac{mv^2}{l}+mg<N\\
\frac{m \cdot 2gl(1-cos \alpha ) }{l}+mg<N\\
2mg(1-cos \alpha )+mg<N\)

z r-nia wyznaczymy \(\alpha\)

Gdy kulkę odchylimy o \(90^0 \Rightarrow cos \alpha =0\)
\(2mg(1-cos 90^0 )+mg=N+ \Delta N\\
3mg=N+ \Delta N\)
ef39
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 501
Rejestracja: 15 sie 2012, 21:03
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 275 razy

Re: Równania ruchu, szybkość i ciśnienie

Post autor: ef39 »

4
Po zanurzeniu sztabki w wodzie pojawi się siła wyporu \(F_w=V\rho_w g\), która działa na sztabkę w górę. Zgodnie z III zasadą dynamiki sztabka działa na ciecz taką samą siłą lecz skierowaną w dół więc zwiększy obciążenie.
Aby przywrócić stan równowagi należy na drugą szalkę dołożyć obciążnik równy sile wyporu
Awatar użytkownika
kaskada
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 143
Rejestracja: 21 lut 2013, 10:27
Podziękowania: 313 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: kaskada »

Tak, wiem, że żar leje się z nieba, ale ma ktoś jakiś pomysł do pozostałych zadań? :(
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Re: Równania ruchu, szybkość i ciśnienie

Post autor: octahedron »

\(3)\,a_1=\frac{F}{m}=\frac{mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha}{m}=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)
\frac{h}{\sin\alpha}=\frac{a_1t_1^2}{2}=\frac{(a_1t_1)^2}{2a_1}=\frac{v_1^2}{2a_1}
v_1^2=\frac{2a_1h}{\sin\alpha}=2gh(1-\mu\mbox{ctg}\alpha)
a_2=\mu g
l=v_1t_2-\frac{a_2t_2^2}{2}=\frac{2v_1a_2t_2-(a_2t_2)^2}{2a_2}=\frac{2v_1(v_1-v_2)-(v_1-v_2)^2}{2a_2}=\frac{v_1^2-v_2^2}{2a_2}
v_2=\sqrt{v_1^2-2a_2l}=\sqrt{2g[h(1-\mu\mbox{ctg}\alpha)-\mu l]}\)
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Post autor: octahedron »

5. Wyleje się woda o objętości wrzuconego ciała, a skoro stal ma większą gęstość od wody, to więcej masy przybędzie niż ubędzie.
ef39
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 501
Rejestracja: 15 sie 2012, 21:03
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 275 razy

Re: Równania ruchu, szybkość i ciśnienie

Post autor: ef39 »

5
Może coś takiego, choć nie mam do końca pewności: :(
Siła działająca początkowo na lewą część wagi to ciężar wody i naczynia
\(F_1=V\rho_wg+Q_n\)
Po wrzuceniu śruby działają siły:
ciężar pozostałej wody, ciężar naczynia, ciężar śruby oraz reakcja na siłę wyporu działającą na śrubę (śruba cała zanurzy się w wodzie)
\(F_2=(V-V_{sr}) \rho_wg+Q_n+m_{sr}g+V_{sr}\rho _wg\\
F_2=V\rho_wg+Q_n+m_{sr}g\\
\Delta F=m_{sr}g\)

o tyle więc należałoby zmienić masę odważników, aby przywrócić równowagę,
wobec tego nie ma znaczenia rodzaj materiału (szkło czy metal) tylko jego masa (no i oczywiście jego kształt bo można ciało tak uformować że się nie utopi choć będzie miało większą gęstość niż woda)
janek882
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 29 lis 2016, 17:28
Płeć:

Re: Równania ruchu, szybkość i ciśnienie

Post autor: janek882 »

octahedron pisze:\(3)\,a_1=\frac{F}{m}=\frac{mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha}{m}=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)
\frac{h}{\sin\alpha}=\frac{a_1t_1^2}{2}=\frac{(a_1t_1)^2}{2a_1}=\frac{v_1^2}{2a_1}
v_1^2=\frac{2a_1h}{\sin\alpha}=2gh(1-\mu\mbox{ctg}\alpha)
a_2=\mu g
l=v_1t_2-\frac{a_2t_2^2}{2}=\frac{2v_1a_2t_2-(a_2t_2)^2}{2a_2}=\frac{2v_1(v_1-v_2)-(v_1-v_2)^2}{2a_2}=\frac{v_1^2-v_2^2}{2a_2}
v_2=\sqrt{v_1^2-2a_2l}=\sqrt{2g[h(1-\mu\mbox{ctg}\alpha)-\mu l]}\)
Cytuję bo kod ucięło.
ODPOWIEDZ