ZESTAW 1 RACHUNEK WEKTOROWY I KINEMATYKA RUCHU

[lukaszcebula1990]

ZESTAW 1 RACHUNEK WEKTOROWY I KINEMATYKA RUCHU
POSTĘPOWEGO
1. Rozważymy dwa wektory: ~a = 8~i − 6~j + 4~k i ~b = 4~i − 7~j + ~k. Obliczyć: |~a|, |~b|, ~a · ~b,
kąt pomiędzy ~a i ~b, ~a ×~b, ~a × (~a ×~b)
2. Dane są trzy wektory: ~a = 2~i + 3~j + 5~k, ~b = −3~i + 4~j + 2~k, ~c = 3~i +~j + 2~k, znajdź:
wektor ~a−~c, iloczyn skalarny ~a−~b i ~c, wektor jednostkowy prostopadły do płaszczyzn
utworzonej przez ~a i ~b.
3. Dane są wektory:~a =~i + 2~j + 3~k, ~b = 4~i + 5~j + 6~k, ~c = 3~i + 2~j +~k, ~d = 6~i + 5~j + 4~k,
znajdź; ~a+~b+~c+~d, kąty, które tworzą wektory ~a, ~b, ~c, ~d z osiami prostokątnego układu
współrzędnych, wartości wektorów ~a, ~b, ~c, ~d, iloczyn skalarny (~a+~b)·(~c+ ~d), kąty które
tworzy wektor ~a z pozostałymi wektorami, rzuty wektora ~a na kierunki wektorów ~b, ~c,
~d, iloczyny wektorowe ~a ×~b, ~a ×~c i ~b ×~c i kąty które tworzą one z wektorem ~d.
4. Motocyklista przejechał pierwszą ćwiartkę drogi z szybkością v1 = 10m/s drugą z
szybkością v2 = 15m/s, trzecią z v3 = 20m/s i czwartą v4 = 5m/s. Znaleźć średnią
szybkość motocyklisty na całym odcinku drogi.
5. Pasażer pociągu elektrycznego, poruszającego się z szybkością 15m/s, zauważył, że
drugi pociąg o długości 210m (jadący w przeciwnym kierunku) minął go w ciągu 6 s.
Znaleźć szybkość drugiego pociągu.
6. Znaleźć szybkość rowerzysty i piechura, jeżeli wiadomo, że podczas ich ruchu w jednym
kierunku w ciągu każdej minuty piechur zwiększa swą odległość od rowerzysty o s1 =
210m, a podczas ich ruchu z tymi samymi szybkościami w przeciwnych kierunkach w
ciągu każdych dwóch minut odległość między nimi zmniejsza się o s2 = 780m.
7. Po rzece pływa motorówka z jednego punktu do drugiego i z powrotem. Ile razy czas
motorówki płynącej pod prąd jest większy od czasu ruchu w dół rzeki, jeżeli szybkość
prądu rzeki wynosi 2m/s, a szybkość motorówki względem wody v2 = 10m/s.
8. Znaleźć czas przelotu samolotu miedzy dwoma punktami, odległymi od siebie o
1000 km, jeżeli szybkość przeciwnego wiatru v1 = 25m/s, a średnia szybkość samolotu
względem powietrza jest v2 = 250m/s. Jaki byłby czas przelotu, gdyby ten wiatr wiał
w kierunku ruch samolotu?
9. Statek pasażerski przebywa w dół rzeki drogę s = 150 km między dwiema przystaniami
w czasie t = 2 h, a płynąc pod prąd przebywa tę samą drogę w czasie t = 3 h. Znaleźć
szybkość statku na stojącej wodzie oraz szybkość wody w rzece.
10. Pod jakim kątem, liczonym od prostopadłej do prądu rzeki należy skierować łódkę
oraz ile czasu musi ona płynąć, aby przepłynęła przez rzekę prostopadle do kierunku
prądu, jeśli szybkość łódki względem wody równa jest 3m/s, a szybkość prądu wody
w rzece wynosi 1.5m/s, a szerokość rzeki 400m.
11. Samochód jadący początkowo z szybkością 32.4 km/h zwiększa ja do 72 km/h w czasie
22 s. Znaleźć przyspieszenie i drogę przebytą przez samochód w tym czasie, zakładając,
że ruch jest jednostajnie przyspieszony. Sporządzić wykres szybkości w funkcji czasu
v(t).
12. Znaleźć drogę, którą ciało przebyło w ciągu 10 s, jeśli jego szybkość wyrażała się wzo-
rem
v = 2
m
s2 t + 6
m
s
13. Pociąg przebywa odległość między dwiema stacjami równą 27 km w ciągu 30min.
Znaleźć średnią i maksymalną szybkość pociągu, przyspieszenie podczas rozpędzania
i opóźnienia podczas hamowania, jeżeli wyjeżdżając z pierwszej stacji rozpędzał się
w ciągu 3min, a dojeżdżając do drugiej hamował przez 1min. Pozostałą część drogi
pociąg przejechał ze stałą szybkością. Sporządzić wykres szybkości pociągu.
14. Ciało o początkowej szybkości 5m/s przebyło w ciągu piątej sekundy drogę 4.5m.
Znaleźć przyspieszenie i drogę, którą przebyło ciało w ciągu 10 s.
15. Ciało wyrzucono do góry z szybkością początkową 20m/s. Znaleźć czas wznoszenia się
i maksymalną wysokość, jaką ciało osiągnie , szybkość, z którą ciało uderzy o ziemię i
czas spadania ciała.
16. Podczas swobodnego spadku ciało przebyło ostatnie 10m w ciągu 25 s. Znaleźć wyso-
kość, z której ciało rozpoczęło spadek i szybkość upadku ciała na ziemię.
17. Do szybu kopalnianego upuszczono kamień. Po upływie 6 s usłyszano na górze uderze-
nie kamienia o dno szybu. Znaleźć głębokość szybu, zakładając, że szybkość dźwięku
jest równa 330m/s.
18. Żongler wyrzucił kulkę pionowo do góry. Kiedy kulka osiągnęła najwyższy punkt swego
toru, żongler wyrzucił drugą kulkę z tą samą szybkością początkową. na jakiej wyso-
kości spotykają się kulki, jeżeli maksymalna wysokość, na jaką wzniosła się pierwsza
kulka, wynosi 4.9m?
19. Z helikoptera, wznoszącego się pionowo ze stałą szybkością 4m/s, na wysokości 200m
wyrzucono do góry przedmiot z szybkością 10m/s (względem helikoptera). Po jakim
czasie i na jakiej wysokości (od powierzchni ziemi) nastąpi spotkanie helikoptera z
wyrzuconym przedmiotem oraz jaką szybkość będzie miał ten przedmiot względem
helikoptera i względem ziemi.
20. Z dołu o głębokości h wyrzucono ciało pod katem α do poziomu, nadając mu prędkość
v0. Znaleźć położenie i prędkość ciała po upływie czasu t.

Błagam rozwiążcie te zadania.............