Sprężystość. Prawo Hooke'a.

[beirut]

Belkę metalową zawieszono na dwóch drutach jednakowej długości (przed obciążeniem), ale wykonanych z różnych materiałów: ze stali i aluminium. Pole przekroju drutu stalowego wynosi S = 2 mm^2. Jaka powinna być średnica drutu aluminiowego, aby po obciążeniu belka zajęła pozycję pionową? (Wydłużenia obu drutów powinny być jednakowe).

Uprzejmie proszę o pomoc.
Odp.: \(d2= 2 \sqrt{ \frac{S1 { \choose 1} E1 }{ \pi E2 } } = 4,22 mm\)

[domino21]

dla stali:
\(\delta_1=E_1 \cdot \varepsilon\)
dla aluminium:
\(\delta_2=E_2 \cdot \varepsilon\)
odkształcenie \(\varepsilon\) w obu przypadkach jest identyczne, bo pręty odkształciły się o tą samą długość, dalej rozpiszemy wzory na naprężenie:
\(\delta=\frac{F}{S}\), więc dla stali:
\(\frac{F_1}{S_1}=E_1 \cdot \varepsilon\), a dla aluminium: \(\frac{F_2}{S_2}=E_2 \cdot \varepsilon\)
mamy:
\(F_1=S_1\cdot E_1 \cdot \varepsilon \ \wedge \ F_2=S_2\cdot E_2 \cdot \varepsilon\)

siły F1 i F2 są równe, bo belka wypoziomowała się, więc
\(F_1=F_2
S_1\cdot E_1 \cdot \varepsilon=S_2\cdot E_2 \cdot \varepsilon
S_1\cdot E_1=S_2\cdot E_2
S_2=\frac{E_1\cdot S_1}{E_2}
\pi r_2^2=\frac{E_1 \cdot S_1}{E_2}
\pi (\frac{d_2}{2})^2=\frac{E_1\cdot S_1}{E_2}
\frac{\pi d_2^2}{4}=\frac{E_1\cdot S_1}{E_2}
d_2^2=\frac{4E_1\cdot S_1}{E_2}
d_2=2\sqrt{\frac{E_1\cdot S_1}{E_2}}\)