Artykuł: Matura - wiarygodny test kompetencji?

Komentarze do artykułów publikowanych na stronie głównej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
robbo
Administrator
Posty: 213
Rejestracja: 06 mar 2008, 10:32
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Płeć:

Artykuł: Matura - wiarygodny test kompetencji?

Post autor: robbo » 16 sty 2011, 09:16

Link do artykułu

Jeszcze kilka mniej, lub bardziej podchwytliwych pytań związanych związanych z krotnościami pierwiastków:
Ile rozwiązań mają równania:
\(x^{10}=1\\x^{\frac{4}{3}}=0\\(\sqrt{x})^4=0\)
\((\sin x)^2=0\) w przedziale \(\langle0,\frac{\pi}{2})\) ??

Johny94
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 88
Rejestracja: 06 gru 2010, 16:20
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 7 razy

Post autor: Johny94 » 16 sty 2011, 10:21

1. Dwa rozwiązania: x=1 lub -1
2. Jedno rozwiązanie: x=0
3. Jedno rozwiązanie: x=0

Awatar użytkownika
robbo
Administrator
Posty: 213
Rejestracja: 06 mar 2008, 10:32
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Płeć:

Post autor: robbo » 16 sty 2011, 11:26

Małe wyjaśnienie - przykłady są podchwytliwe jeżeli uważamy (tak jak OKE), że równanie \(x^4=0\) ma 4 rozwiązania.

kwoch
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 58
Rejestracja: 25 lip 2009, 09:19
Podziękowania: 49 razy
Otrzymane podziękowania: 4 razy

Post autor: kwoch » 16 sty 2011, 20:01

Dla tych co bazują tylko na nowych podręcznikach, a myślą że stare są do kosza (bo podstawa programowa itp. ) polecam spojrzeć na: Alicja Cewe, Halina Nahorska- matura zbiór zadań, część I, strona 16, zadanie 70( a propos zadania 8... hmm...). I polecam jednak wszystkim, który przygotowują się do matury rozszerzonej wstęp do antykwariatu i zakup starszego typu wydawnictw.

MrVonzky
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 422
Rejestracja: 10 lis 2009, 19:47
Podziękowania: 94 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Post autor: MrVonzky » 16 sty 2011, 22:38

a czy poprawne jest napisanie, że równanie ma 10rozwiązań w dziedzinie zespolonej?

Galen
Guru
Guru
Posty: 18208
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9042 razy

Post autor: Galen » 16 sty 2011, 22:45

Zawsze przy takich zadaniach szukam,czy jest napisane dwa RÓŻNE pierwiastki.
I czasem nie mam rozwiązania zgodnego z odpowiedzią w książce,bo tu nie ma jednoznacznej interpretacji.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

snajpy
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 14 paź 2009, 10:37
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Zadanie 8 - jest poprawne

Post autor: snajpy » 22 sty 2011, 08:47

Witam Serdecznie!

Wyznaczeniu tych wartości parametru m, dla których suma odwrotności pierwiastków równania \((2m+1)x-(m+3)x+(2m+1)=0\) jest większa od 1.

Warunek na to by \((2m+1) \neq 0\) jest KONIECZNY bo od kiedy to funkcja liniowa ma pierwiastki ? Z tego co mi wiadomo ma pierwiastek ;) Zatem aby powyższa funkcja miała pierwiastki musi być kwadratowa :)

Co do pierwiastków i rozwiązań: \((x-1)^2 = 0\) ma dwa pierwiastki, ale jedno rozwiązanie.

Pozdrawiam
MD

Awatar użytkownika
robbo
Administrator
Posty: 213
Rejestracja: 06 mar 2008, 10:32
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Płeć:

Post autor: robbo » 27 sty 2011, 20:25

snajpy pisze: Warunek na to by \((2m+1) \neq 0\) jest KONIECZNY bo od kiedy to funkcja liniowa ma pierwiastki ? Z tego co mi wiadomo ma pierwiastek ;) Zatem aby powyższa funkcja miała pierwiastki musi być kwadratowa :)
Nikt nie twierdzi, że ten warunek jest niepotrzebny - ale 0 punktów za jego brak jest bez sensu.

Poza tym Twoja argumentacja jest dziwna: Twoim zdaniem równanie x=1 ma rozwiązania, czy nie?
Co do pierwiastków i rozwiązań: \((x-1)^2 = 0\) ma dwa pierwiastki, ale jedno rozwiązanie.
Mylisz się, ma jeden pierwiastek (podwójny) i jedno rozwiązanie.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9841 razy
Płeć:

Post autor: irena » 27 sty 2011, 21:04

Galen pisze:Zawsze przy takich zadaniach szukam,czy jest napisane dwa RÓŻNE pierwiastki.
I czasem nie mam rozwiązania zgodnego z odpowiedzią w książce,bo tu nie ma jednoznacznej interpretacji.
To prawda. Ja pamiętam, że dwa pierwiastki, znaczyło kiedyś dwa różne pierwiastki. Cieszę się, że robbo napisał, że to równanie ma jeden pierwiastek, tyle, że podwójny. Ale, niestety, różne podręczniki różnie to traktują...

snajpy
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 14 paź 2009, 10:37
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Podwójny pierwiastek ;)

Post autor: snajpy » 02 lut 2011, 22:55

Witam Serdecznie!

Chciałbym sprostować i wyjaśnić :)
Funkcja kwadratowa ma 2 pierwiastki wtedy i tylko wtedy gdy \(\Delta \ge 0\)

1. \(\Delta > 0\) wtedy są dwa różne pierwiastki
2. \(\Delta = 0\) wtedy są dwa takie same pierwiastki - pierwiastek podwójny \(x_1 = x_2\)

N-krotny pierwiastek oznacza, że występuje on n razy.
Tak samo jest z wygraną. Wygrana to 1000zł. Dostajemy podwójną wygraną - czyli 2 x po 1000zł, a nie 1000zł ;)

Funkcja kwadratowa ma natomiast rozwiązania:
1. \(\Delta > 0\) wtedy są dwa rozwiązania
2. \(\Delta = 0\) wtedy jest jedno rozwiązanie
3. \(\Delta < 0\) wtedy nie ma rozwiązania

Nie wiem na jakiej Państwo się literaturze opieracie, ale dla mnie jest to oczywista - oczywistość.
Jeśli dysponują Państwo jakąś literaturą, która mówi inaczej to proszę się podzielić tytułem i autorem ;)

Pozdrawiam
MD

Awatar użytkownika
robbo
Administrator
Posty: 213
Rejestracja: 06 mar 2008, 10:32
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Płeć:

Post autor: robbo » 03 lut 2011, 10:04

Proszę bardzo: S. Lang, Algebra, strona 123
Liczbę b nazywamy pierwiastkiem lub zerem wielomianu f, jeżeli f(b)=0
Jakie są pierwiastki wielomianu \(f(x)=(x-1)^2\)? - jest jeden x=1.

Ta sama książka strona 132
Liczbę m nazywamy krotnością pierwiastka a wielomianu f, jeżeli f dzieli się przez \((x-a)^m\) i nie dzieli się przez \((x-a)^{m+1}\)
W myśl tej definicji pierwiastek równania \((x-1)^2\) jest pierwiastkiem 2-krotnym. Nie oznacza to jednak, że to równanie ma dwa pierwiastki - nie, ma jeden 2-krotny.

Mówiąc bardziej po ludzku: krotność pierwiastka to jest dodatkowa cecha, którą można przypisać pierwiastkom wielomianów, ale cecha ta nie zmienia zbioru rozwiązań równania. Równania \(x-2=0\) i \((x-2)^2\) mają dokładnie takie same zbiory rozwiązań/pierwiastków. Natomiast pierwiastki te różnią się krotnościami. Formalnie całą sytuację bardzo porządkuje język dywizorów, ale to bardzo nas oddala od matematyki szkolnej.

W tym co piszesz popełniasz co najmniej dwa błędy
- odróżniasz pierwiastki od rozwiązań równania, a to jest jedno i to samo
- liczysz elementy zbioru {1,1} podwójnie, a przecież to jest zbiór jednoelementowy

Jeżeli nadal Cię nie przekonałem, to spróbuj odpowiedzieć na następujące trzy pytania:
- podaj definicję pierwiastka równania i rozwiązania równania, żeby można było stwierdzić, że to dwie różne rzeczy
- podaj formalną definicję zbioru pierwiastków równania f(x)=0, która pozwala stwierdzić, że równanie \((x-1)^2=0\) ma dwa pierwiastki
- zastosuj wymyśloną wyżej definicję do równań \(x^{\frac{4}{3}}=0\) i \(x^{\frac{8}{6}}=0\) i daj znać ile mają one rozwiązań.

ps.1 Jeżeli spojrzysz na swój ostatni post, to jest on trochę nieelegancki - żądasz dowodów z literatury, a sam swoją wypowiedź argumentujesz 'oczywistą oczywistością' - w ten sposób trudno Ci będzie kogoś przekonać do swoich argumentów.

ps.2 Jak już kilka razy pisałem sprawa krotności pierwiastków jest dość delikatna i tak naprawdę pojawia się w szkole tylko z jednego powodu: wzorów Viete'a. Z tego powodu jest naturalne, że problem ten jest sztuczny zarówno dla uczniów jak i nauczycieli - problemem jest jednak to, że eksperci OKE tego nie rozumieją i sami popełniają błędy. Powtórzę raz jeszcze: tego typu wątpliwości nie powinny mieć miejsca przy okazji zadań maturalnych.

snajpy
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 14 paź 2009, 10:37
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Liczba pierwiastków :)

Post autor: snajpy » 08 lut 2011, 03:03

Przepraszam, że tak bez przykładów i odniesień do literatury przekazałem moje spostrzeżenia:

Proszę spojrzeć na:
http://kms.ue.poznan.pl/bartkowiak/mate ... omiany.pdf

http://reference.wolfram.com/mathematic ... Roots.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=CountRoots[+(x-1)^17,+{x,+0,+1}]

Oprogramowanie Wolfram to jeden z najbardziej zaawansowanych silników matematycznych, który wykorzystuje
prawa i twierdzenia matematyczne. Korzysta tutaj z zasadniczego twierdzenia algebry. Oczywiście nie jest to poziom
szkoły średniej.

Podstawowe twierdzenie algebry.
Dowolny wielomian stopnia n nad ciałem liczb zespolonych ma dokładnie n pierwiastków
zespolonych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność)

Nie zajmuję się zawodowo algebrą, ale metodami numerycznymi. Pamiętam, że w liceum mój matematyk
rozróżniał dwa różne pierwiastki i dwa takie same pierwiastki.

Pozdrawiam
MD

Awatar użytkownika
robbo
Administrator
Posty: 213
Rejestracja: 06 mar 2008, 10:32
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Płeć:

Post autor: robbo » 14 lut 2011, 13:52

snajpy pisze: Proszę spojrzeć na:
http://kms.ue.poznan.pl/bartkowiak/mate ... omiany.pdf

Podstawowe twierdzenie algebry.
Dowolny wielomian stopnia n nad ciałem liczb zespolonych ma dokładnie n pierwiastków
zespolonych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność)
Właśnie dlatego w nawiasie jest dopisek jak należy liczyć pierwiastki, bo to nie jest w żaden sposób 'oczywiste'. Zresztą w książkach algebraicznych zazwyczaj zasadnicze twierdzenie algebry formułuje się ostrożniej: każdy wielomian o współczynnikach zespolonych ma co najmniej jeden pierwiastek. A jeżeli już koniecznie chce się napisać o całkowitej liczbie pierwiastków, to można to zrobić tak jak np. tu:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Zasadnicze ... ie_algebry
http://reference.wolfram.com/mathematic ... Roots.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=CountRoots[+(x-1)^17,+{x,+0,+1}]
Oprogramowanie Wolfram to jeden z najbardziej zaawansowanych silników matematycznych, który wykorzystuje
prawa i twierdzenia matematyczne. Korzysta tutaj z zasadniczego twierdzenia algebry. Oczywiście nie jest to poziom
szkoły średniej.
Tu nie ma żadnej sprzeczności, ta funkcja po prostu liczy krotności pierwiastków - to nie ma nic wspólnego z samą definicją pierwiastka.
Nie zajmuję się zawodowo algebrą, ale metodami numerycznymi. Pamiętam, że w liceum mój matematyk
rozróżniał dwa różne pierwiastki i dwa takie same pierwiastki.
No bo wszyscy tak robią - ja też. Pisałem nawet dlaczego - to jest wygodne do wzorów Viete'a. Trzeba jednak pamiętać, że to jest tylko taki trick na użytek tej sytuacji.

Awatar użytkownika
kamil13151
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1528
Rejestracja: 14 kwie 2011, 19:31
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 170 razy
Otrzymane podziękowania: 502 razy
Płeć:

Re: Artykuł: Matura - wiarygodny test kompetencji?

Post autor: kamil13151 » 20 lip 2011, 17:55

W zbiorze Kiełbasy jest też np.
Jeśli trójmian ma jeden pierwiastek \(x_0\), to \(y=a(x-x_0)^2\)
, a więc CKE robi sobie w ciu*a, gdzie *=l. :x

matirafal
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1237
Rejestracja: 04 kwie 2011, 11:56
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 594 razy
Płeć:

Re: Artykuł: Matura - wiarygodny test kompetencji?

Post autor: matirafal » 17 sty 2013, 11:56

robbo pisze:Link do artykułu

Jeszcze kilka mniej, lub bardziej podchwytliwych pytań związanych związanych z krotnościami pierwiastków:
Ile rozwiązań mają równania:
\(x^{10}=1\\x^{\frac{4}{3}}=0\\(\sqrt{x})^4=0\)
\((\sin x)^2=0\) w przedziale \(\langle0,\frac{\pi}{2})\) ??
Pierwsze pytanie jakie bym zadał, to proszę o podanie zbioru w jakim operujemy.
Otrzymałeś odpowiedź lub podpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!