optymalizacja

[BarT123oks]

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, których objętość jest równa 6. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych ostrosłupów, którego pole powierzchni bocznej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole

[eresh]

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, których objętość jest równa 6. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych ostrosłupów, którego pole powierzchni bocznej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole

\(\frac{1}{3}a^2H=6\\
H=\frac{18}{a^2}\\
a>0\)

h - wysokość ściany bocznej
\(H^2+(0,5a)^2=h^2\\
\frac{324}{a^4}+\frac{a^2}{4}=h^2\\
h^2=\frac{1296+a^4}{4a^4}
h=\frac{\sqrt{1296+a^4}}{2a^2}\)

\(P_b=4\cdot\frac{1}{2}a\cdot \frac{\sqrt{1296+a^4}}{2a^2}\\
P(a)=\frac{\sqrt{1296+a^4}}{a}\\
P(a)=\sqrt{\frac{1296+a^4}{a^2}}\\
f(a)=\frac{1296+a^4}{a^2}\\
f'(a)=\frac{4a^3\cdot a^2-2a(1296+a^4)}{a^4}\\
f'(a)=\frac{2a^5-2592a}{a^4}\\
f'(a)=\frac{2a(a^4-1296)}{a^4}\\
f'(a)=\frac{2a(a^2+36)(a-6)(a+6)}{a^4}\\
f'(a)<0\iff a\in (0,6)\\
f'(a)>0\iff a\in (6,\infty)\\
f_{min}=f(6)\)

Jeśli a=6 pole boczne będzie najmniejsze
krawędź boczną i pole policz sam