3 zadania z wyrażeń algebraicznych

[Bendżi99]

Proszę o pomoc w rozwiazaniu tych zadań. Każde z nich próbowałem zrobić i nie wychodził mi wynik.

1. Udowodnij, że jeżeli dla liczby \(n\ge 2\) oraz dodatnich a i b, zachodzą równości: \(a^{n}= a + 1\) oraz \(b^{2n} = 3a + b\), to \(a > b\)

2. Uzasadnij, że wielomian \(W(x) = x^{5} - \sqrt{2}x^{4} -x^{3} + \sqrt{2}x^{2} -6x + 6\sqrt{2}\) nie ma pierwiastków wymiernych.

3. Uzasadnij, że \(\frac{5a^{2} + 4a - 9}{3a^{2} -a-2}=\frac{5a+9}{3a+2}\). Podaj potrzebne założenia



Zadania pochodzą ze zbioru zadań maturalnych, matematyka rozszerzona, omega.

[eresh]

3. Uzasadnij, że \(\frac{5a^{2} + 4a - 9}{3a^{2} -a-2}\) = \(\frac{5a+9}{3a+2}\). Podaj potrzebne założenia

\(\frac{5a^{2} + 4a - 9}{3a^{2} -a-2}=\frac{5(a+\frac{9}{5})(a-1)}{3(a-1)(a+\frac{2}{3})}=\frac{5a+9}{3a+2}\\
a\neq 1\;\; \wedge \;\;a\neq -\frac{2}{3}\)

[eresh]

2. Uzasadnij, że wielomian W(x) = \(x^{5} - \sqrt{2}x^{4} -x^{3} + \sqrt{2}x^{2} -6x + 6\sqrt{2}\) nie ma pierwiastków wymiernych.

\(x^{5} - \sqrt{2}x^{4} -x^{3} + \sqrt{2}x^{2} -6x + 6\sqrt{2}=0\\
x^4(x-\sqrt{2})-x^2(x-\sqrt{2})-6(x-\sqrt{2})=0\\
(x-\sqrt{2})(x^4-x^2-6)=0\\
(x-\sqrt{2})(x^2-3)(x^2+2)=0\\
(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x^2+2)=0\\
x=\sqrt{3}\\
x=\sqrt{2}\\
x=-\sqrt{3}\)
wielomian ma trzy niewymierne pierwiastki

[Bendżi99]

Ja czegoś nadal nie dostrzegam w tym 3 przykładzie.
5 przed nawiasem to rozumiem. Skąd jednak mamy ten nawias (a-1) i (a + \(\frac{2}{3}\))?

[eresh]

Ja czegoś nadal nie dostrzegam w tym 3 przykładzie.
5 przed nawiasem to rozumiem. Skąd jednak mamy ten nawias (a-1) i (a + \(\frac{2}{3}\))?

postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

[Bendżi99]

O dziękuję. Teraz już rozumiem. A co z pierwszym przykładem?

[Panko]

\( a>0 , b>0 \) , \( a^n=a+1 \) ( obie strony są dodatnie czyli mogę spokojnie podnieść do kwadratu )
1) \( a^{2n } =(a+1)^2 \)
2) \( b^{2n} -b +a =4a \)
3 ) \( b^{2n} -b+a =4a < (a+1)^2 =a^{2n} \) ( a=1 daje sprzeczność )
4) \( b^{2n} -b+a < a^{2n} \)
5) \( 0 < (a^n -b^n)(a^n+b^n ) +(a-b) \)
6) \( 0 < (a-b)( 1 + (a^n +b^n)W(a,b) ) \) , wielomian \( W(a,b) >0 \) co wynika ze szkolnego wzoru i dodatniości
a,b.
7) Z powyższego jest \( b<a \)