uzasadnij, że liczba \(10^{20}+10^{19}+10^{18}+...+10^2+10\) jest podzielna przez 11.
Kompletnie nie umiem zrobić tego zadania, więc proszę o czytelne rozwiązanie. Z góry dziękuje!
uzasadnij podzielność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
sailores897
- Witam na forum
- Posty: 7
- Rejestracja: 09 lis 2020, 20:02
- Podziękowania: 3 razy
- Płeć:
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: uzasadnij podzielność
Wskazówka:
Wykaż przez indukcję , że \(10^{2n}+10^{2n-1}+10^{2n-2}+...+10^2+10\) dzieli się przez 11 dla każdego \(n \ge 1\)
Wykaż przez indukcję , że \(10^{2n}+10^{2n-1}+10^{2n-2}+...+10^2+10\) dzieli się przez 11 dla każdego \(n \ge 1\)
-
sailores897
- Witam na forum
- Posty: 7
- Rejestracja: 09 lis 2020, 20:02
- Podziękowania: 3 razy
- Płeć:
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3528
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1936 razy
Re: uzasadnij podzielność
To prościej:
Ponieważ
\(10^{20}+10^{19}+10^{18}+...+10^2+10=(10^{20}+10^{19})+(10^{18}+10^{17})+\cdots+(10^2+10)=\\
\quad=10^{19}(10+1)+10^{17}(10+1)+\cdots+10(10+1)=11(10^{19}+10^{17}+\cdots+10)\)
i liczba w ostatnim nawiasie jest całkowita, to teza jest prawdziwa
Pozdrawiam
Ponieważ
\(10^{20}+10^{19}+10^{18}+...+10^2+10=(10^{20}+10^{19})+(10^{18}+10^{17})+\cdots+(10^2+10)=\\
\quad=10^{19}(10+1)+10^{17}(10+1)+\cdots+10(10+1)=11(10^{19}+10^{17}+\cdots+10)\)
i liczba w ostatnim nawiasie jest całkowita, to teza jest prawdziwa
Pozdrawiam