Nierówność logarytmiczna

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1259
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1331 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Nierówność logarytmiczna

Post autor: Januszgolenia » 22 lip 2020, 11:05

Dla jakich argumentów wartości funkcji \(f(x)=\log^2(100x)-\log^2(10x)\) są mniejsze od wartości funkcji \(g(x)=9-\log x\)?
Ostatnio zmieniony 22 lip 2020, 13:43 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu: \log

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1973
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 847 razy
Płeć:

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: kerajs » 22 lip 2020, 12:52

Z: \(x>0\)
\(\log^2(100x)-\log^2(10x) <9-\log x\)
\((\log 100x + \log 10x)(\log 100x - \log 10x) <9-\log x\)
\((\log 100+\log x + \log 10+\log x)\log \frac{100x}{10x} <9-\log x\)
\((3+2\log x ) \log 10 <9-\log x\)
\( \log x <2\)
\(0<x<100\)

Awatar użytkownika
Jerry
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 343
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 159 razy

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: Jerry » 22 lip 2020, 13:58

Albo zmienna pomocnicza, polecam!
Dla \(x>0\), mamy nierówność:
\((\log 100+\log x)^2-(\log 10+\log x)^2<9-\log x\)
Niech
\(\log x=t\in\rr\),
wtedy
\((2+t)^2-(1+t)^2<9-t\\
3t<6\\
\log x<\log 10^2\)

wobec rośnięcia funkcji \(y=\log x\)
\(x<100\)
po uwzględnieniu dziedziny
\(x\in(0;100)\)

Pozdrawiam