Wykż niewymierność liczby

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1259
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1331 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Wykż niewymierność liczby

Post autor: Januszgolenia » 12 lip 2020, 08:27

Udowodnij, że liczba \( \sqrt{5}\) jest liczba niewymierną.

radagast
Guru
Guru
Posty: 17051
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7196 razy
Płeć:

Re: Wykż niewymierność liczby

Post autor: radagast » 12 lip 2020, 08:44

Rozważmy równanie: \(x^2-5=0\)
\( \sqrt{5} \) jest jego pierwiastkiem.
Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianów o współczynnikach całkowitych wynika, że jedynymi wymiernymi pierwiastkami wielomianu \(x^2-5=0\) mogłyby być liczby : -1,1,-5,5.
Wniosek:\( \sqrt{5} \) nie jest liczbą wymierną. Jest więc liczbą niewymierną
CBDO

radagast
Guru
Guru
Posty: 17051
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7196 razy
Płeć:

Re: Wykż niewymierność liczby

Post autor: radagast » 12 lip 2020, 09:15

A można też tak:
załóżmy że \( \sqrt{5} \) jest liczbą wymierną . Wtedy \( \sqrt{5} = \frac{p}{q} \), przy czym \(p,q \in N\)
czyli \(q \sqrt{5} =p\), a po podniesieniu do kwadratu: \(5q^2=p^2\).
Rozważmy teraz liczbę piątek występujących w rozkładzie na czynniki liczby \(p^2\) - jest parzysta.
Rozważmy teraz liczbę piątek występujących w rozkładzie na czynniki liczby \(5q^2\) - jest nieparzysta.
Daje to sprzeczność z jednoznacznością rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Liczba \( \sqrt{5} \) jest więc niewymierna .
CBDO

Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1259
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1331 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: Wykż niewymierność liczby

Post autor: Januszgolenia » 12 lip 2020, 10:39

A dlaczego liczba piątek w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \( p^2\) jest parzysta a w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(5q^2\) jest nieparzysta.

radagast
Guru
Guru
Posty: 17051
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7196 razy
Płeć:

Re: Wykż niewymierność liczby

Post autor: radagast » 12 lip 2020, 10:44

\(p^2=p \cdot p\)
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(p\) jest k piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(p \cdot p\) jest 2k piątek

\(5q^2=5 \cdot q \cdot q\)
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(q\) jest l piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(q \cdot q\) jest 2l piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(5 \cdot q \cdot q\) jest 2l +1piątek